【推荐1】华师版九年级上册教材第103页利用作斜边中点的方法，探究了：“在直角三角形中，锐角所对的直角边与斜边的数量关系．”我们还能用其他的方法证明这个结论吗？
下面是小明的探究过程，请根据他的思路完成以下作图和填空：
已知：如图，在中，，，求证：．

(1)尺规作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使得，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)证明：∵，，
∴．
∵平分，
∴ ① ．
在与中，，∴．
∴ ② ，∴．
又∵，∴ ③ ，
∴点是的中点，∴ ④ ．
∵，∴．
利用小明的探究过程，我们可以得到的结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么                ⑤              

【推荐2】[问题提出]我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？
[初步思考]
(1)如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______， _____；

(2)如图2，是的弦，圆心角，点是上不与、重合的一点，求弦所对的圆周角的度数为_______________；（用m的代数式表示）

[问题解决]
(3)如图3，已知线段，点在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（① 直尺为无刻度直尺；② 不写作法，保留作图痕迹）；

[实际应用]
(4)如图4，在边长为6的等边三角形中，点、分别是边、上的动点，连接、，交于点，若始终保持，当点E从点A运动到点C时，点P运动的路径长是__________________．

【推荐3】如图，在四边形中，，，平分，，的延长线交于点．求证：

(1)；
(2)．