【推荐1】综合与实践：
问题情境：在一次综合实践活动课上，同学们以菱形为对象，研究菱形旋转中的问题：
已知，在菱形ABCD中，BD为对角线，，AB=4，将菱形ABCD绕顶点A顺时针旋转，旋转角为（单位°）．旋转后的菱形为．在旋转探究活动中提出下列问题，请你帮他们解决．
   
观察证明：
（1）如图1，若旋转角，与BD相交于点M，AB与相交于点N．请说明线段DM与的数量关系；
   
操作计算：
（2）如图2，连接，菱形ABCD旋转的过程中，当与AB互相垂直时，的长为        ；
（3）如图3，若旋转角，分别连接，，过点A分别作，，连接EF，菱形ABCD旋转的过程中，发现在中存在长度不变的线段EF，请求出EF长度；
操作探究：
（4）如图4，在（3）的条件下，请判断以，，三条线段长度为边的三角形是什么特殊三角形，并说明理由．

【推荐2】（1）问题发现
如图1，在中，，点为的中点，以为一边作正方形，点恰好与点重合，则线段与的数量关系为______________；
（2）拓展探究
在（1）的条件下，如果正方形绕点旋转，连接，线段与的数量关系有无变化?请仅就图2的情形进行说明；
（3）问题解决．
当正方形旋转到三点共线时，直接写出线段的长．

【推荐3】已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M为BC的中点，点P为AB边上一动点，点N为线段BM上一动点，以点P为旋转中心，将△BPN逆时针旋转90°得到△DPE，且点B的对应点为D，点N的对应点为E．

（1）当点N与点M重合，且点P不是AB的中点时．
①依据题意补全图1；
②证明：以A，M，E，D为顶点的四边形是矩形．
（2）连接EM，若AB＝4，写出一个BN的值，使得EM＝EA成立，并证明．

【推荐1】如图，已知A、B、C三点在同一条直线上，△ABD与△BCE都是等边三角形．其中线段AE交DB于点F，线段CD交BE于点G.
求证：.

【推荐2】已知：如图，是的直径，C是上一点，于点D，过点C作的切线，交的延长线于点E，连接．

(1)求证：与相切；
(2)连接，若，，求的长；
(3)若，，点F是任意一点，点M是弦的中点，当点F在上运动一周，则点M运动的路径长为     ．

【推荐3】（1）如图1，在中，D为AB上一点，．求证：；
（2）如图2，在□中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，．若，，求AD的长．
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是内一点，，，，，，求DF的长．