【推荐1】如图，在正方形ABCD中，，P是CD边上一动点（不与点D重合），连接AP，点D与点E关于AP所在的直线对称，连接AE，PE，延长CB到点F，使得，连接EF，AF．

(1)依题意补全图1；
(2)若，求线段EF的长；
(3)当点P在CD边上运动时，能使为等腰三角形，直接写出此时的面积．

【推荐2】在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下操作：

(1)观察猜想：如图①，已知均为等边三角形，点D在边上，且不与点B、C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是___________
(2)类比探究：如图②，已知均为等边三角形，连接，若，试说明点B，D，E在同一直线上；
(3)解决问题：如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，请求出的长．

【推荐3】如图，直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边，点为正半轴上一动点，连结，以线段为边在第四象限内作等边，直线交轴于点．

(1)与全等吗？判断并证明你的结论；
(2)将等边沿轴翻折，点的对称点为.
①点会落在直线上么？请说明理由；
②随着点位置的变化，点的位置是否会发生变化? 若没有变化，请直接写出点，若有变化，请说明理由.

【推荐1】如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，．

(1)用等式表示与的数量关系，并证明；
(2)当时，
直接写出的度数为______；
若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明．

【推荐2】如图，已知，是直线上的点，．

（1）如图1，过点作，并截取，连接，，，判断的形状并证明；
（2）如图2，若是直线上一点，且，直线，相交于点，的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．[提示：联想第（1）问的证明过程]

【推荐3】在正方形中，对角线与相交于点，点是线段上的动点．
   
(1)如图1，若平分．
①求证：．
②若，求的长．
(2)如图2，延长交于点，连接．当时，探究与的数量关系，并说明理由．

【推荐1】如图，已知、是半径为1的的两条弦，且，的延长线交于点D，连接、．

(1)证明：；
(2)连接，当是直角三角形时，求的长；
(3)①试探究的值是否为定值？如果是，请求出式子的值；如果不是，请说明理由；
②记、、的面积分别为、、，若，求的长．

【推荐3】如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．
（1）求证：CB是∠ECP的平分线；
（2）求证：CF＝CE；
（3）当时，求劣弧的长度（结果保留π）