【推荐1】如图，在中，，，．点是边的中点，点在边上，将沿翻折，使点落在点处，当时，线段的长为_________．

【推荐2】某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行的，即PQ∥MN． 如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． 若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动_________秒，两灯的光束互相平行．

【推荐3】如图，图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若图3中，则图1中的的度数是______．

【推荐1】如图，四边形内接于，点是弧的中点，则的长为______．

【推荐2】如图，已知等腰，，过点、分别做，的垂线交于点，与相交于点，若，，则的长为________．

【推荐3】如图，为等腰直角的斜边，为的中点，为延长线上的一个动点（与点不重合），线段的垂直平分线交线段于点，垂足．当点运动时，给出下列四个结论．其中一定正确的结论有______（请填写正确序号）．

①点到三个顶点的距离相等；②；③；④

【推荐1】如图，在中，，平分交于点D，作交于点E，将沿折叠得到，交于点M．若，，则______．

   

【推荐2】如图中，为对角线交点，平分，平分，，，则______．

【推荐3】如图，I是△ABC的内心，AI的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，与BC交于点E，连接BI、CI、BD、DC．下列说法中正确的有____．
①∠CAD绕点A顺时针旋转一定的角度一定能与∠DAB重合；
②I到△ABC三个顶点的距离相等；
③∠BIC=90°+∠BAC；
④点D是△BIC的外心．

【推荐1】如图直角梯形中，，，，，将腰以为中心逆时针旋转至，连、，则的面积是______.

【推荐3】如图，在中，，，，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为______．