【推荐1】如图①，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，点P为射线的交点．

(1)如图②，将绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接、，求证：且．
(2)若，把绕点A旋转，
①当时，求的长；
②旋转过程中线段长的最小值是_______．

【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线过点A、B和点C(﹣4，0)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BC，若点P在线段AB上方的抛物线上移动，过点P作PQ∥BC交AB于Q点，求4PQ+BQ的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将该抛物线沿射线CB的方向平移5个单位长度得到新抛物线，平移后的新抛物线与原抛物线交于点R，M点在新抛物线的对称轴上，在平面内是否存在点N，使得以点A、R、M、N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】二次函数y＝ax²＋bx＋4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（﹣1，0）、B（4，0）．

(1)求此二次函数的表达式；
(2)①如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（﹣，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标；
②如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45°，交抛物线于点P，求点P的坐标；
(3)已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且△QOT为等腰三角形，若符合条件的Q恰好有2个，直接写出T的坐标．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D．
   
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
(2)点P是线段上的动点．
①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若，求点E的坐标；
②若点Q是射线上的动点，且始终满足，连接，，请求出的最小值．

【推荐2】如图，抛物线y = x²+bx+c过点A (-1，2)，且关于y轴对称，点C与点B(a，0)(a＞1)关于原点对称，直线AC交抛物线于点D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）连接OA，BD，当OA//BD时，求a的值；
（3）若直线AC交抛物线于E，F两点(点E在点F的左侧)，且EA=DF，求直线AC的解析式．
   

【推荐3】在平面直角坐标系中，点、的横坐标分别为、，二次函数的图像经过点、，且满足(为常数).
(1)若一次函数的图像经过、两点.
①当、时，求的值;
②若随的增大而减小，求的取值范围.
(2)当且、时，判断直线与轴的位置关系，并说明理由;
(3)点、的位置随着的变化而变化，设点、运动的路线与轴分别相交于点、，线段的长度会发生变化吗？如果不变，求出的长;如果变化，请说明理由.

【推荐1】如图①，在等腰直角三角形中，，D，E分别为的中点，F为线段上一动点（不与D，E重合），将线段绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．
   
(1)求证：．
(2)如图②，连接，交于点H．
①证明：在点F的运动过程中，总有；
②若，直接写出当的长度是多少时，为为等腰三角形？

【推荐2】在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（）．

(1)如图①，当时，求点D的坐标；
(2)如图②，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；
(3)当点D落在线段上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．

【推荐3】（为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形）
在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰RtRt△AD₁E₁，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD₁与CE₁的交点为P．
（1）如图1，当α=90°时，线段BD₁的长等于 ，线段CE₁的长等于 ；（直接填写结果）

（2）如图2，当α=135°时，求证：BD₁=CE₁ ，且BD₁⊥CE₁ ；

（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）