【推荐1】如图，AB是O的直径，AC是弦，且OD⊥AC于点E，OD交⊙O于点F，连接CF、BF，若∠BFC＝∠ODA．

(1)求证：AD是⊙O的切线：
(2)若AB＝10，AC＝8，求AD的长．

【推荐2】如图1是某奢侈品牌的香水瓶，从正面看上去（如图2），它可以近似看作⊙O割去两个弓形（由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形）后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF；从侧面看，它是扁平的，厚度为1.3cm．已知⊙O的半径为2.5cm，BC=1.4cm，AB=3.1cm，EF=3cm，求香水瓶的高度h．

【推荐3】如图，是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底藏线，弦是水位线，米，于点E，此时测得．

(1)求的长；
(2)如图，阴影矩形是漂浮的箱子移出水面的截面图，若其长为10米，高为2米，当点E恰在中点时，
①画出半圆O最高点H，并直接写出点H到线段的距离；
②若该箱子随水面上升1米，请判断此木箱能否通过该桥洞．并说明理由．

【推荐1】如图，△ABC中以AB为直径作⊙O，分别交边AC、BC于D、E，过D作DF⊥BC于F，且D为弧AE的中点.

（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若且AD=时，求⊙O的半径.

【推荐2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D的切线交BC于点E．
（1）求证：DE=BC；
（2）若四边形ODEC是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．

【推荐3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线BC于点D，E是AC上一点，DE=DB，以D为圆心，DC为半径作⊙D
（1）求证：AB是⊙D的切线；
（2）求证：AC+CE=AB．

【推荐1】如图，四边形中，，且满足，连结．

（1）如图1，当时，求证：．
（2）如图2，若，求的值．
（3）如图3，延长，交于点D，连结，过点D作，若，．试探究：在射线上，是否存在点E，使得的某一个内角等于的2倍？若存在，连结，求的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】（1）如图1所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在斜边AB上，点E在直角边BC上，若∠CDE＝45°，求证：△ACD∽△BDE．
（2）如图2所示，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝10cm，点E在BC上，连接AE，过点E作EF⊥AE交CD（或CD的延长线）于点F．
①若BE：EC＝1：9，求CF的长；
②若点F恰好与点D重合，请在备用图上画出图形，并求BE的长．

【推荐3】如图，已知是的直径，F为上的点，过F作的切线交的延长线于点D，过A作的垂线分别交、于E、C，连接．
   
(1)求证：
①平分；
②；
(2)若，的半径为5，求的长．

【推荐1】如图，是的直径，C是上一点，平分，垂直于过点C的直线，垂足为D．

(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，求的值．

【推荐2】如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB，CD的端点均在小正方形的顶点上．

(1)在此方格纸中画出以AB为边的正方形ABMN，该正方形的周长为______；
(2)在此方格纸中画出以CD为腰的等腰△CDG，点G在小正方形的顶点上，且，此时，______．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，与y轴交于点B．反比例函数的图象经过点A．

(1)求k的值；
(2)点C在x轴正半轴上，连接AC、BC，若，求的值；