【推荐1】某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现者名的黄金分割比．如图，圆内接正五边形，圆心为O，与交于点H，、与分别交于点M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）
   
（1）求证：是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出的形状；
（2）求证：，且其比值；
（3）由对称性知，由（1）（2）可知也是一个黄金分割数，据此求的值．

【推荐2】如图1，在矩形 中，，，，分别是，的中点，连接，点从点出发，沿方向均速运动，速度为，同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，当点停止运动时，点也停止运动．连接，设运动时间为，解答下列问题：

(1)求证：．
(2)如图 ，过点作，垂足为，当为何值时，四边形为矩形，请说明理由．
(3)当点在线段上运动时，若的面积为， ．
(4)当为等腰三角形时，请直接写出的值： ．

【推荐1】已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为80.

（1）请写出AB的中点M对应的数.
（2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，
①你知道经过几秒两只电子蚂蚁相遇?
②点C对应的数是多少?
③经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度?

【推荐2】如图，在数轴上点A所表示的数是，点B在点A的右侧，．

（1）直接写出点B表示的数_________；
（2）点C在AB之间，，求点C表示的数，并在数轴上描出点C；
（3）已知点P在数轴上
①若，直接写出点P所表示的数；
②点P从线段AB的中点处出发，每次向左或向右移动一个单位，共移动了7次，恰好到达点B的位置，请直接写出所有不同移动方法的种数．

【推荐3】如图，线段 ，动点从出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动，为的中点．设点的运动时间为秒．

(1)        秒后，．
(2)当在线段上运动时，试说明为定值．
(3)当在线段的延长线上运动时，为的中点，求的长度．

【推荐1】如图1，正方形中，、分别在、边上，点是与的交点，且；

（1）求证：；
（2）如图2，以为边作正方形，在的延长线上，连接，判断与的数量关系和位置关系并证明；
（3）如图3，连接，交于点，求的度数．

【推荐3】小杰同学在中考总复习时，遇到一个课本上的问题，温故知识后进行了操作推理与拓展应用．
（1）温故知识：如图①，在中，一个正方形的边在上，顶点P，N分别在，上，作于点D，交于点E，若，．求正方形的边长；（用含a，h的代数式表示）
（2）操作推理：如何画出这个正方形呢？
如图②，小杰画出了图①的，然后又进行以下操作：先在边上任取一点，画正方形，使点，在边上，点在内，然后连接，并延长交于点N，作于点M，交于点P，于点Q，得到四边形．证明：图②中的四边形是正方形；
（3）拓展应用：在（2）的基础上，在线段上截取，连接，（如图③），当时，请直接写出线段的长．（用含a，h的代数式表示）

【推荐1】在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD．
（1）如图1，求证：AC垂直平分BD；
（2）如图2，若∠BCD＝60°，∠ABC＝90°，E、F分别BC、CD上的动点，且∠EAF＝60°，AE、AF分别与BD交于G、H． 求证 ：△AGH ∽△AFE；
（3）如图3，在（2）的条件下，若EF⊥CD，求．

【推荐2】请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不要求写作法，保留作图痕迹．

(1)如图①，四边形中，，，，请画出四边形的对称轴l；
(2)如图②，四边形中，，，请画出边的垂直平分线m；
(3)如图③，在一个的方格图中有一个格点（顶点A、B、C均在格点上），请画出边上的高．

【推荐3】如图1，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，且CD>DA，DA=2．点P、Q同时从D点出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动．过点Q作AC的垂线段QR，使QR=PQ，联接PR．当点Q到达A时，点P、Q同时停止运动．设PQ=x．△PQR和△ABC重合部分的面积为S．S关于x的函数图像如图2所示（其中0<x≤，<x≤m时，函数的解析式不同）
（1）填空：n的值为___________;
（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．