【推荐2】已知：平面直角坐标系中，，，，在正半轴有一动点（点在的右侧），连接，，，在轴负半轴取点，使，连接，，设．

(1)如图1，当时，求线段的长度．
(2)如图2，连接，当时，求的值．
(3)如图3，延长交于点，在第四象限有一点，连接，当时，求直线PF的解析式．

【推荐3】已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．

(1)求点B的坐标；
(2)求直线AE的表达式；
(3)过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．
(4)若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域．

【推荐1】如图，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为      ，点C的坐标为      （用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，在中，，，，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿AB向终点B运动，当点P不与点A，B重合时，作，边PD交折线于点D，点A关于直线PD的对称点为E，连结ED，EP得到．设点P的运动时间为t（秒）．

(1)直接写出线段PD的长（用含t的代数式表示）；
(2)当点E落在边BC上时，求t的值；
(3)设与重合部分图形的面积为S，求S与t的函数关系式；
(4)设M为AB的中点，N为ED的中点，连结MN．当MN与的边垂直时，直接写出t的值．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数图像与x轴交于、，与y轴交于点．

(1)求二次函数的解析式；
(2)若平行于x轴的直线与抛物线交于M、N两点，与抛物线的对称轴交于H点，若点H到x轴的距离是线段MN的，求线段MN的长；
(3)抛物线的顶点为D，过定点Q的直线与二次函数交于E、F，外接圆的圆心在一条抛物线上运动，求该抛物线的解析式．

【推荐3】如图，已知二次函数(b，c为常数)的图象经过点A(3，1)，点C(0，4)，顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
（2）若将该二次函数图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点与△ABC的外心重合，求的取值；
（3）点P是坐标平面内的一点，使得△ACB与△MCP相似，且CM的对应边为AC，请写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程)．