【推荐1】在中，点在边所在直线上（与点，不重合），点在边所在直线上，且，交边于点．

（1）如图1，若是等边三角形，点在边上，过点作于，试说明：．
某同学发现可以由以下两种思路解决此问题：
思路一：过点作，交于点，如图1
因为是等边三角形，得是等边三角形
又由，得　　
再说明　　
得出．
从而得到结论．
思路二：过点作，交的延长线于点，如图
①请你在“思路一”中的括号内填写理由；
②根据“思路二”的提示，完整写出说明过程；
（2）如图3，若是等腰直角三角形，，点在线段的延长线上，过点作于，试探究与之间的数量关系，并说明理由．

【推荐1】如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且tan∠ABC＝2；
（1）利用尺规过点A作⊙O的切线AD（点D在直线AB右侧），且AD＝AB，连接OD交AC于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）条件下，
①求证：OD∥BC；
②连接BD交⊙O于点F，求证：DE•OD＝DF•BD．

【推荐2】
(1)如图是等边△ABC的外接圆，请你在图中作，并回答点P在________上；
(2)如图，已知矩形ABCD，AB=5，BC=6，点P为线段AD上任一点．若，请在图中用尺规作图画出符合要求的点P；（保留作图痕迹，不要求写做法）
(3)将（2）中矩形ABCD的“AB=5”改为“AB=m”，其它条件不变，若符合（2）中要求的点P必定存在，求m的取值范围．

【推荐3】如图①，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°．图②，小明的作图方法如下：

第一步：分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O；
第二步：连接OA，OB；
第三步：以O为圆心，OA长为半径作圆O，交1于点P₁，P₂；
所以图中P₁，P₂即为所求的点．
（1）在图②中，连接P₁A，P₁B，求证：∠AP₁B＝30°；
【方法迁移】
（2）如图③，用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P，使得∠BPC＝45°；（不写作法，保留作图痕迹）
【深入探究】
（3）已知矩形ABCD，BC＝2，P为边AD上的点，若满足∠BPC＝45°的点P恰好有1个求AB的值．
（4）已知矩形ABCD，BC＝2，AB＝m，P为边AD上的点，若满足∠BPC＝45°的点P恰好有两个，直接写出m的取值范围：　 　．

【推荐1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，且AB＝AC．延长CD至点E，使CE＝BD，连接AE．
（1）求证：AD平分∠BDE；
（2）若AB//CD，求证：AE是⊙O的切线．

【推荐2】如图，△ABC中，E是AC上一点，且AE =AB，,以AB为直径的⊙交AC于点D，交EB于点F．

(1)求证：BC与⊙O相切；
(2)若AB=8，sin∠EBC=,求AC的长．

【推荐3】如图，⊙O过▱ABCD的三顶点A、D、C，边AB与⊙O相切于点A，边BC与⊙O相交于点H，射线AD交边CD于点E，交⊙O于点F，点P在射线AO上，且∠PCD=2∠DAF．
（1）求证：△ABH是等腰三角形；
（2）求证：直线PC是⊙O的切线；
（3）若AB=2，AD=，求⊙O的半径．

【推荐1】如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接．抛物线的对称轴与轴交于点．点是直线上方抛物线上的一个动点（不与、重合），过点作交于点．
   
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是轴上一动点，当的和最小时，点的坐标为            ；
(3)求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
(4)是否存在点E，使与相似，若存在请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若sin∠BAC=，求的值．