【推荐1】【探索发现】
如图①，将沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将和分别沿折叠，使点均落在点处，折痕形成一个四边形．小刚在探索这个问题时发现四边形是矩形．

小刚是这样想的：

（1）请参考小刚的思路写出证明过程；
（2）连接，当时，直接写出线段的数量关系；
[理解运用]
（3）如图②，在四边形中，，点为的中点，把四边形折叠成如图②所示的正方形，顶点落在点处，顶点落在点处，求的长；

[拓展迁移]
（4）如图③，在四边形中，，点分别为边的中点，将四边形沿直线折叠，使点与重合，点落在处，将沿折叠，点落在点处．判断四边形的形状，并求四边形的面积．

【推荐2】如图1，点G在正方形的对角线上，于E，于F．

(1)证明与推断：
①求证：四边形是正方形；
②推断：___________；
(2)探究与证明：
将正方形绕点C顺时针方向旋转角（），如图2，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展与运用：
正方形在旋转过程中，当B、E、F三点在一条直线上时，如图3，延长交于点H，若，，求的长．

【推荐3】定义：角的内部一点到角两边的距离比为：，这个点与角的顶点所连线段称为这个角的二分线．如图，点为内一点，于点，于点，且，则线段是的二分线．

(1)如（图1）中，为的二分线，，，且，求的长；
(2)如（图2），正方形中，，点是中点，证明：是的二分线；
(3)如（图3），四边形中，，，且，，若，分别是，的二分线，证明：四边形是矩形．

【推荐1】如图，已知等腰中，，以为直径的与交于点E，与交于点D．

(1)求证：；
(2)若．
①设，的半径为r，求r关于x的函数表达式．
②当时，求图中阴影部分的面积．

【推荐2】在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点．抛物线分别交x轴于点、点，交y轴于点C．

(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P为抛物线第二象限上的点，连接BP交y轴于点D，设点P的横坐标为t，CD的长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，点F、N分别在BD、OA上，连接NF，且，点E在OC上，连接NE、FE，，点K在FN上，且．当，时，求点P坐标．

【推荐1】如图（1），点是菱形对角线上的一点，连接，以为腰在的右侧作等腰三角形，且使，．

（1）当点在菱形内，时，__________；
（2）如图（2），当点在菱形内，，其他条件不变时，求值；
（3）如图（3），当点在菱形外，，，菱形的面积为，其他条件不变，请直接写出的面积．

【推荐2】如图,与均是等腰直角三角形,并且.连接BE,AD的延长线与BC、BE的交点分别是点G与点F.
(1)求证:;
(2)将绕点C旋转直至时,探究线段DA,DE,DG的数量关系,并证明;
(3)在(2)的条件下,若DA=4.5,DG=2,求的值.

【推荐3】发现来源于探究．小亮进行数学探究活动，作边长为a的正方形ABCD和边长边b的正方形AEFG（a>b）,开始时点E在AB上，如图1，将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转．
（1）如图2，小亮将正方形AEFG绕点A顺时针方向旋转，连接BE、DG，请证明：△ADG≌△ABE；
（2）如图3，小亮将正方形AEFG绕点A顺时针方向旋转，连接BE、DG，当点G恰好落在线段BE上，且a=3,b=2时，请你帮他求此时DG的长．
（3）如图4，小亮旋转正方形AEFG，当点E在DA的延长线上时，连接BF、DF，若FG平分∠BFD，请你帮他求a：b的值.