【推荐1】【观察发现】
如图1，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，且点E在边AB上，连接DE和BG，猜想线段DE与BG的数量关系，以及直线DE与直线BG的位置关系．（只要求写出结论，不必说出理由）

【深入探究】
如图2，将图1中正方形AEFG绕点A逆时针旋转一定的角度，其他条件与观察发现中的条件相同，观察发现中的结论是否还成立？请根据图2加以说明．
【拓展应用】
如图3，直线l上有两个动点A、B，直线l外有一点O，连接OA，OB，OA，OB长分别为、4，以线段AB为边在l的另一侧作正方形ABCD，连接OD．随着动点A、B的移动，线段OD的长也会发生变化，在变化过程中，线段OD的长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，一个锐角等于60°的菱形ABCD，将一个60°的∠MAN的顶点与该菱形顶点A重合，以A为旋转中心，按顺时针方向旋转这个60°的∠MAN，使它的两边分别交CB、DC或它们的延长线于点E，F．

(1)如图1，当BE＝DF时，AE与AF的数量关系是_______；
(2)旋转∠MAN，如图2，当BE≠DF时，(1)的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；
(3)若菱形ABCD的边长为4，BE＝1，请直接写出AF的长．

【推荐3】如图所示，等腰直角中，．

(1)如图1，若是内一点，将线段绕点顺时针旋转得到，连，求证：；
(2)若是外一点，将线段绕点顺时针旋转得到，且，连结BD，猜想：线段和满足什么数量关系？请在图2中画出符合要求的图形（一种即可），并在你所画图形的基础上完成证明；
(3)如图，若是斜边的中点，为下方一点，且，，，则___________．

【推荐1】问题背景：如图1，在中，，，，四边形是正方形，求图中阴影部分的面积．

（1）发现：如图，小芳发现，只要将绕点逆时针旋转一定的角度到达，就能将阴影部分转化到一个三角形里，从而轻松解答.根据小芳的发现，可求出图1中阴影部分的面积为______；（直接写出答案）

（2）应用：如图，在四边形中，，，于点，若四边形的面积为，试求出的长；

（3）拓展：如图，在四边形中，，，，以为顶点作为角，角的两边分别交，于，两点，连接，请直接写出线段，，之间的数量关系．

【推荐3】【操作发现】
(1)如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．

①请按要求画图：将绕点A顺时针方向旋转，点B的对应点为，点C的对应点为；
②连接，此时__________．
【问题解决】
在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：
(2)如图2，在等边中，点P在内部，且，，，求的长．
经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找、、三边之间的数量关系．……清参考他们的想法，完成解答过程；

【学以致用】
(3)如图3，在等腰直角中，，P为内一点，，，，求的长．

【推荐1】如图，已知是的直径，点是上异于，的点，点是的中点，连接，，，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，的平分线交于点，交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)求的值；
(3)若、，则的直径为________．

【推荐2】如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结DG.
(1)填空：若∠BAF＝18°，则∠DAG＝______°.
(2)证明：△AFC∽△AGD；
(3)若＝，请求出的值.

【推荐3】定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．
概念理解：
①在互补四边形中，与是一组对角，若则         _
②如图1，在中，点分别在边上，且求证：四边形是互补四边形．

探究发现：如图2，在等腰中，点分别在边上， 四边形是互补四边形，求证：．

推广运用：如图3，在中，点分别在边上，四边形是互补四边形，若，求的值．