【推荐1】如图 ，是一元二次方程的两个实数根，且,抛物线的图象经过．
   
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线与轴的另一个交的为，抛物线的顶点为，求的面积．

【推荐2】如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，连接、．

(1)求抛物线的表达式；
(2)将沿所在直线翻折，得到，点B的对应点为D，求点D的坐标；
(3)点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标．

【推荐3】如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接，在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，四边形为一个矩形纸片，，．动点自点出发沿方向运动至点后停止，以直线为轴翻折，点落在点的位置．设，与原纸片重叠部分的面积为．

（1）当为何值时，直线过点；
（2）当为何值时，直线过的中点；
（3）求出与的函数表达式．

【推荐2】如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分别交于点和点，与y轴交于点C，P为抛物线上一动点．

(1)写出抛物线的对称轴为直线_______，抛物线的函数关系式为______；
(2)如图2，连结AC，若P在AC上方，作轴交AC于Q，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线AC始终有交点，求h的最大值；
(3)若P在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．

【推荐3】(1)【初步感知】如图1，在正方形中，，点是对角线上任意一点(不与重合)，点是的中点，连接，过点作交直线于点．当点与点重合时，比较：______________(选填“>”、“<”或“=”)．
【再次感知】如图1，当点在线段上时，如何判断和数量关系呢？
甲同学通过过点分别向和作垂线，构造全等三角形，证明出；乙同学通过连接，证明出，从而证明出．
(2)【联想感悟】如图2，当点落在线段上时，判断和的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展应用】如图3，连接，并延长交直线于点．
①若，求的长；
②若的面积是，则的长为______________；
③直接写出面积的取值范围：______________．