【推荐1】如图，是的直径，弦于点，点是上一点，且，连接，，交于点．
   
(1)若，，求的半径；
(2)连接并延长，交的延长线于点，过点作的切线，交的延长线于点．求证：．

【推荐2】抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C,已知抛物线的对称轴为x=1，B(3,0),C(0,-3)，
（1）求二次函数y=ax²+bx+c的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M,N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．

【推荐3】如图，是的直径，点D在延长线上，切于点E，交于点F，且点E平分．

(1)求证：．
(2)作，交于点G，交于点P．若，，求的长度．

【推荐1】在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点A为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作顺；若逆时针旋转，记作逆．
例如：如图①，先将绕点B逆时针旋转，得到，再将以点B为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作逆．

(1)如图②，经过顺得到，用尺规作出．（保留作图痕迹）
(2)如图③，经过逆得到，经过顺得到，连接．求证：四边形AFDE是平行四边形．
(3)如图④，在中，，，．若经过（2）中的变换得到的四边形是正方形，请直接写出的长．

【推荐2】某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

（1）请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面（保留作图痕迹）；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝24cm，水面最深地方的高度为8cm，求这个圆形截面的半径．

【推荐1】如图1，AD、BD分别是的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．

（1）求证：；
（2）如图2，如果AE=AB，且BD：DE=2：3，求BC：AB的值；
（3）如果∠ABC是锐角，且与相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与x轴、y轴的交点分别为，抛物线过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿方向运动，到达C点后，立即返回，向方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为．

   

（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；
（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段沿过点B的直线翻折，点A的对称点为，求的最小值．

【推荐3】如图，中，，，，点，分别在边，上，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且．

（1）求的长；
（2）点是射线上的一个动点，连接，，，的面积与的面积相等，
①当点在线段上时，求的长；
②当点在线段的延长线上时，________；
（3）将直线平移，平移后的直线与直线，直线分别交于点和点，以线段为一边作正方形，点与点在直线两侧，连接当时，请直接写出的值．