【推荐1】如图，是的外接圆，为的直径，点I为的内心，连接并延长交于D点，连接并延长至E，使得，连接．
   
(1)求证：；
(2)求证：直线为的切线；
(3)若，求的长．

【推荐3】（1）①如图1，等腰（为底）与等腰（为底），，则与的数量关系为______；

②如图2，矩形中，，，则______；

（2）如图3，在（1）②的条件下，点在线段上运动，将绕点顺时针旋转得到，使，连接.当时，求的长度；

（3）如图4，矩形中，若，，点在线段上运动，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，连结，中点为，中点为，若，求.

【推荐1】AB为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，BCOP交⊙O于C，PO交⊙O于D，
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）过点D作DE⊥AB于E，交AC于F，PO交AC于H，BD交AC于G，DF＝FG，DF＝5，CG＝6，求⊙O的半径．
   

【推荐2】如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，点C在⊙O上，PA=PC．

(1)求证：CB∥PO．
(2)若AB＝10，CB＝6，求PC的长．

【推荐3】在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E在AB上，且∠BCE＝∠BAC．

(1)求证：AC＝AE
(2)若AD＝9，cos∠BCE＝，求BE．

【推荐1】如图，四边形中，.以为圆心，以为半径作．

求证：是的切线．
连接并延长交于点延长交于点，与的延长线交于点
①补全图形；
②若，求证：．

【推荐2】已知：四边形是的内接四边形，是直径，点是的中点，过点作交的延长线于点，四边形的面积为25

(1)求证：是的切线；
(2)求的长．

【推荐3】如图，已知，以交于点D，点E为弧的中点，连接交于点F，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若⊙O的半径为2，，求的长．

【推荐1】如图，点C在以为直径的半圆O上（点C不与A，B两点重合），点D是弧的中点，于点E，连接交于点F，连接，过点D作半圆O的切线交的延长线于点P．
   
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接，，若，求的值．

【推荐2】已知矩形中，，，点、分别在边、上，将四边形沿直线翻折，点、的对称点分别记为、.
   
（1）当时，若点恰好落在线段上，求的长；
（2）设，若翻折后存在点落在线段上，则的取值范围是______.

【推荐3】如图1和 图2，四边形ABCD中，已知AD＝DC，∠ADC＝90°，点E、F分别在边AB、BC上，∠EDF＝45°．
（1）观察猜想：如图1，若∠A、∠DCB都是直角，把△DAE绕点D逆时针旋转90°至△DCG，使AD与DC重合，易得EF、AE、CF三条线段之间的数量关系，直接写出它们之间的关系式_____；
（2）类比探究：如图2，若∠A、∠C都不是直角，则当∠A与∠C满足数量关系_____时，EF、AE、CF三条线段仍有（1）中的关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求AE的长．