【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正方向匀速运动，设点B的运动时间为t秒，过点B作CB⊥AB，且CB＝AB．

（1）若∠CBO＝60°，则BC＝　 　；
（2）求点C的坐标（用含t的代数式表示）；
（3）是否存在时间t（t≥2），使得△BOC为等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，四边形中，对角线，相交于点，且，．

(1)若，求证：；
(2)求证：；
(3)若平分，，，求的长．

【推荐3】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．

（1）若∠BDA＝115°，则∠BAD＝　 °，∠DEC＝　 °；
（2）若DC＝AB，求证：△ABD≌△DCE；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．

【推荐1】探究问题：
   
(1)阅读理解：
①如图A，在所在平面上存在一点P，若它到三个顶点的距离之和最小，则称点P为的费马点，此时的值为的费马距离．
②如图B，若四边形的四个顶点在同一个圆上，则有，此为托勒密定理．
知识迁移：
①请你利用托勒密定理解决如下问题：
如图C，已知点P为等边外接圆的上任意一点．求证：；
②根据（2）①的结论，我们有如下探寻（其中均小于）的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图D，在的外部以为一边作等边及其外接圆；
第二步：在上任取一点，连接．易知________；
第三步：请你根据（1）①中定义，在图D中找出的费马点P，则线段______的长度即为的费马距离．
(2)知识应用：今年以来某市持续干旱，许多村庄出现了人、畜饮水困难的问题，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到该市某地打井取水．已知三村庄A、B、C构成了如图E所示的（其中，均小于），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．

【推荐2】在等腰三角形中，，在的外部作等边三角形，E为的中点，连接并延长交于点F，连接．

(1)如图1，若，求和的度数．
(2)如图2中，的平分线交于点M，交于点N，连接．
①补全图2；
②若，求证：．

【推荐3】在中，，点是直线上的一动点（不与点重合），连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接．

【问题发现】（1）如图（1），当点是的中点时，线段与的数量关系是_________，位置关系是__________．
【猜想证明】（2）如图（2），当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】（3）若，其他条件不变，连接，．当是等边三角形时，直接写出的面积．

【推荐1】某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和矩形的性质时，做了如下探究：在矩形中，点E在上，．
   
(1)【观察与猜想】
如图1，连接，过点E作，交于点F，连接，求证：；
(2)【类比探究】
如图2，点P在矩形的边上（点P不与点A、D重合），连接，过点E作，交于点F，连接．求证：；
(3)【拓展延伸】
如图3，点P在矩形的边上（点P不与点A、D重合），连接，过点E作，交于点F，连接，且的面积是2.16，求的长．

【推荐2】已知正方形ABCD的边长为2，作正方形AEFG（A，E，F，G四个顶点按逆时针方向排列），连接BE、GD，
（1）如图①，当点E在正方形ABCD外时，线段BE与线段DG有何关系？直接写出结论；
（2）如图②，当点E在线段BD的延长线上，射线BA与线段DG交于点M，且DG＝2DM时，求边AG的长；
（3）如图③，当点E在正方形ABCD的边CD所在的直线上，直线AB与直线DG交于点M，且DG＝4DM时，直接写出边AG的长．

【推荐3】综合与实践．问题情境：数学课上，老师出示了一个问题，如图①，在中，平分交于点于点于点，求证：．
   
独立思考：（1）请解答老师提出的问题：
（2）如图②．在（1）的情况下，如果的两边分别与相交于两点，其它条件不变，那么又有相等关系：__________，请加以证明．
问题解决：（3）如图③，在中，，，平分交于点，，求四边形的周长．

【推荐2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE．连接CE、DE，点F是DE的中点．

(1)求证：BD=CE；
(2)如图1所示，在点D运动的过程中，连接CF，CF的延长线与AB交于点P，连接DP，试猜想DP与CE的位置关系和数量关系，并证明你猜想的结论．
(3)如图2所示，在点D运动的过程中，当BD=2CD时，连接CF，CF的延长线与BA的延长线交于点G，求的值．

【推荐3】已知正方形中，点E是射线上一点，连接，作的垂直平分线交直线于点M，交直线于点N，交于点F．

(1)如图1，当点E在正方形的边上时．
①依题意补全图形；
②求证：；
(2)如图2，当点E在的延长线上时．连接并延长交的延长线于点P，连接．
①直接写出的度数为 　　；
②用等式表示线段，，之间的数量关系