【问题探究】
（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD．
①请探究AD与BD之间的位置关系？并加以证明．
②若AC＝BC＝
，DC＝CE＝
，求线段AD的长．
【拓展延伸】
（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝
，BC＝
，CD＝
，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．
（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD．
①请探究AD与BD之间的位置关系？并加以证明．
②若AC＝BC＝
，DC＝CE＝，求线段AD的长．【拓展延伸】
（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝
，BC＝，CD＝，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．
更新时间：2021-06-06 10:52:39
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名校
【推荐1】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，∠1＝∠2＝60°．射线AM以每秒2°的速度绕着端点A顺时针旋转至AB处停止，同时射线CN以每秒1°的速度绕端点C顺时针旋转至CD处停止．
（1）射线AM、CN旋转30秒时，∠DAM＝ 度，∠BCN＝ 度；
（2）若射线CN先转动80秒，射线AM才开始转动，如图2，当射线AM与射线CN相交所形成的∠AEC＝150°时，求射线AM的旋转时间．
（3）如图3，若射线AM、CN同时转动，在射线AM到达AB之前与射线CN交于点E，以点E为顶点作∠AEF交DC的延长线于点F，且∠AEF＝130°，请探究此时∠CAE与∠CEF的数量关系，并说明理由．
（1）射线AM、CN旋转30秒时，∠DAM＝ 度，∠BCN＝ 度；
（2）若射线CN先转动80秒，射线AM才开始转动，如图2，当射线AM与射线CN相交所形成的∠AEC＝150°时，求射线AM的旋转时间．
（3）如图3，若射线AM、CN同时转动，在射线AM到达AB之前与射线CN交于点E，以点E为顶点作∠AEF交DC的延长线于点F，且∠AEF＝130°，请探究此时∠CAE与∠CEF的数量关系，并说明理由．
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【推荐2】如图，已知点C为线段AB上一点，△ACM、△BCN是等边三角形．
（1）如图1，求证：AN＝BM；
（2）如图2，将△ACM绕点C按逆时针方向旋转180°，使点A落在CB上，结论“AN＝BM”是否还成立，若成立，请证明：若不成立，请说明理由；
（3）在（2）所得的图形中，设MA的延长线交BN于D（如图3），试判断△ABD的形状，并证明你的结论．
（1）如图1，求证：AN＝BM；
（2）如图2，将△ACM绕点C按逆时针方向旋转180°，使点A落在CB上，结论“AN＝BM”是否还成立，若成立，请证明：若不成立，请说明理由；
（3）在（2）所得的图形中，设MA的延长线交BN于D（如图3），试判断△ABD的形状，并证明你的结论．
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【推荐3】在Rt
ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将ABC绕点C顺时针旋转α（0°＜α≤360°）得到
，其中点A，B的对应点分别为点
，
．
（1）如图1，当落在CA的延长线上时，
①连接
，求线段的长．
②求从初始状态到此位置时，线段AB扫过的面积．
（2）如图2，连接
，，所在直线与所在直线交于点M，所在直线与
交于点N，当0°＜α≤180°时，是否存在α使得
＝2MN，若存在，请求出α；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，所在直线与所在直线交于点M，K为边AB的中点，连接MK，请直接写出在旋转过程中，MK长度的取值范围．
ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将ABC绕点C顺时针旋转α（0°＜α≤360°）得到，其中点A，B的对应点分别为点，．（1）如图1，当
落在CA的延长线上时，①连接
，求线段的长．②求从初始状态到此位置时，线段AB扫过的面积．
（2）如图2，连接
，，所在直线与所在直线交于点M，所在直线与交于点N，当0°＜α≤180°时，是否存在α使得＝2MN，若存在，请求出α；若不存在，请说明理由．（3）如图3，
所在直线与所在直线交于点M，K为边AB的中点，连接MK，请直接写出在旋转过程中，MK长度的取值范围．
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解题方法
【推荐1】如图1，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是线段AD延长线上的一个动点，连接CP，以CP为一边，在CP的左侧作矩形CPFE．
（1）若DP＝
，
①如图1，当矩形CPFE的顶点F恰好落在CD的延长线上，求PF的长；
②如图2，求证：点A一定在矩形CPFE的边CE所在的直线上；
③如图3，连接EP，易知EP中点O在CP的垂直平分线上，设CP的垂直平分线交BC的延长线于点G，连接BO，求5BO＋3OG的最小值；
（2）如图4，若所作矩形CPFE始终保持CE＝
CP，在BC的延长线上取一点H，使CH＝2，连接HF，试探究点P移动过程中，HF是否存在最小值，若存在，请直接写出HF的最小值；若不存在，请说明理由．
（1）若DP＝
，①如图1，当矩形CPFE的顶点F恰好落在CD的延长线上，求PF的长；
②如图2，求证：点A一定在矩形CPFE的边CE所在的直线上；
③如图3，连接EP，易知EP中点O在CP的垂直平分线上，设CP的垂直平分线交BC的延长线于点G，连接BO，求5BO＋3OG的最小值；
（2）如图4，若所作矩形CPFE始终保持CE＝
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【推荐2】 如图，等边△ABC中，点D是BC上任一点，以AD为边作∠ADE=∠ADF=60°,分别交AC,AB于点E,F.
(1)求证：AD2=AE•AC.
(2)已知BC=2,设BD的长为x,AF的长为y.
①求y关于x的函数表达式；
②若四边形AFDE外接圆直径为
,求x的值
(1)求证：AD2=AE•AC.
(2)已知BC=2,设BD的长为x,AF的长为y.
①求y关于x的函数表达式；
②若四边形AFDE外接圆直径为
,求x的值
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【推荐3】如图1所示是小明设计的带菱形图案的花边作品，该作品由形如图2所示的矩形图案拼接而成(不重叠，无缝隙)，小明发现图（2）具有对称之美，它既是轴对称图形，也是中心对称图形，并对这个图形进行探究．
（1）如图3，若知图案的一部分，请你根据如图2将图3的图案补充完整(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
（2）如图4，
，
，上、下两个阴影部分的面积之和为
，其内部菱形由两组距离相等的平行线两两相交得到，求该菱形的周长；
（3）小明认为：图4中的4个空白部分在一定条件下能拼成一个正方形(不重叠，无缝隙)，请你帮助小明写出应满足的条件(提示：求出
与
的长度之比，并指出点
、
的位置)．
（1）如图3，若知图案的一部分，请你根据如图2将图3的图案补充完整(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
（2）如图4，
，，上、下两个阴影部分的面积之和为，其内部菱形由两组距离相等的平行线两两相交得到，求该菱形的周长；（3）小明认为：图4中的4个空白部分在一定条件下能拼成一个正方形(不重叠，无缝隙)，请你帮助小明写出应满足的条件(提示：求出
与的长度之比，并指出点、的位置)．
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