【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为M．

(1)求抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
(2)试判断以A为圆心，半径是3的与直线BM的位置关系，并说明理由；
(3)直线与y轴交于点D，与抛物线交于点P，Q（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若的面积为，求k的值．

【推荐2】【新知】
19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作．若交x轴于点、，则为方程两个实数根．

(1)【探究】由勾股定理得，，，，在中，，所以．化简得：，同理可得：______．所以m、n为方程的两个实数根．
(2)【运用】在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M、N．
(3)已知点、，以为直径作．请运用以上知识判断与x轴的位置关系，并说明理由．
(4)【拓展】在平面直角坐标系中，已知两点、，若以为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程______．

【推荐3】在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x，y）的变换点为P′（x+y，x﹣y）．
（1）如图1，如果⊙O的半径为，
①请你判断M（2，0），N（﹣2，﹣1）两个点的变换点与⊙O的位置关系；
②若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P′在⊙O的内，求点P横坐标的取值范围．
（2）如图2，如果⊙O的半径为1，且P的变换点P′在直线y=﹣2x+6上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．

【推荐1】空间任意选定一点，以点为端点作三条互相垂直的射线，，．这三条互相垂直的射线分别称作轴、轴、轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为（水平向前），（水平向右），（竖直向上）方向，这样的坐标系称为空间直角坐标系．将相邻三个面的面积记为，且的小长方体称为单位长方体，现将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体所在的面与轴垂直，所在的面与轴垂直，所在的面与轴垂直，如图所示．若将轴方向表示的量称为几何体码放的排数，轴方向表示的量称为几何体码放的列数，轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图是由若干个单位长方体在空间直角坐标内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了排列层，用有序数组记作 (1，2，6)，如图的几何体码放了排列层，用有序数组记作 (2，3，4)．这样我们就可用每一个有序数组表示一种几何体的码放方式．

（1）有序数组 (3，2，4)所对应的码放的几何体是_____；

（2）图是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，则这种码放方式的有序数组为(___，____，____)，组成这个几何体的单位长方体的个数为____个；

（3）为了进一步探究有序数组的几何体的表面积公式，某同学针对若干个单位长方体进行码放，制作了下列表格：

根据以上规律，请直接写出有序数组的几何体表面积的计算公式；（用表示）
（4）当时，对由个单位长方体码放的几何体进行打包，为了节约外包装材料，我们可以对个单位长方体码放的几何体表面积最小的规律进行探究，请你根据自己探究的结果直接写出使几何体表面积最小的有序数组，这个有序数组为(___，___，___)，此时求出的这个几何体表面积的大小为________．（缝隙不计）

【推荐2】下面是按规律排列的一列数：
第1个数：.
第2个数：.
第3个数：.
…
(1)分别计算这三个数的结果(直接写答案).
(2)写出第2019个数的形式(中间部分用省略号，两端部分必须写详细)，然后推测出结果.

【推荐3】18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题．

（1）根据上面的多面体模型，完成表格中的空格：

多面体	顶点数（）	面数（）	棱数（）
四面体		4	6
长方体	8	6	12
正八面体	6	8	12
正十二面体	20	12

你发现顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是________．
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，求这个多面体的面数．
（3）已知某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和六边形两种多边形拼接而成，且有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，六边形的个数为个，求的值．
（4）在（3）的情况下，又已知，求代数式的值．
（5）模型应用
有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，利用欧拉公式分别求出正五边形、正六边形个数．