【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B两点，其中，与y轴交于点．
   
(1)求抛物线解析式；
(2)如图，连接，过点B作x轴垂线，在该垂线上取点P，使得与相似（包括全等），请求出点P坐标．

【推荐2】如图，点在直线上，过点作，且，点在射线上（点不与点重合），且满足，，与交于点，过点作于点．设．

（1）用含的代数式表示的长；
（2）①线段的长是________；
②线段的长是_________；（用含的代数式表示）
（3）当为何值时，有最小值？并求出这个最小值．

【推荐3】如图，是的外接圆，是的直径，切线交的延长线于点D，，垂足为点E，延长交于点F，连接．

(1)求证：平分；
(2)若的半径为4，，求的值．

【推荐1】【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．

如图23.4.2，在中，点D、E分别是与的中点．根据画出的图形，可以猜想：     ，且， 对此，我们可以用演绎推理给出证明．

【定理证明】请根据教材内容，结合图1，写出证明过程．
【定理应用】如图2，在矩形中，，点O为的中点，点M为边上一动点，点N为的中点，连接、、．
   
（1）当时，与的数量关系是__________，的值为__________；
（2）如图3，在平行四边形中，点E为边上一点，连接，点P在上，，点G是的中点，连接交于点F，若点F为的中点，，连接．
①求的度数；
②直接写出的值．

【推荐2】在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，．
   
(1)如图1，求k的值：
(2)如图2，点在上，点在上，连接、，且，过点作的垂线，垂足为点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交轴于，连接，点是的中点，连接，当时，求的面积．

【推荐3】
(1)问题发现
如图 1，△ABC和△CDE均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F.填空:
①∠AFB的度数是 ；
②线段AD，BE之间的数量关系为 ；
(2)类比探究
如图2，△ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直线AD和直线BE交于点F，请判断∠AFB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由.
(3)如图 3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点D在AB边上，DE⊥AC于点E，AE＝3，将△ADE绕着点A在平面内旋转，请直接写出直线DE经过点B时BD的长为_____.

【推荐1】如图1，正方形ABCD的边长为4，点E， F分别在BC， BD上，且BE=1，过三点C， E， F作⊙O交CD于点G.

(1)证明∠EFG =90°.
(2)如图2，连结AF，当点F运动至点A，F， G三点共线时，求的面积.
(3)在点F整个运动过程中，
①当EF， FG， CG中满足某两条线段相等，求所有满足条件的BF的长.
②连接EG，若时，求⊙O的半径(请直接写出答案) .

【推荐2】问题提出：
（1）如图①，利用尺规作劣弧上距离弦最远的点；

问题探究：
（2）如图②，在中，，，，点为内一点，若的面积为6，连接，求的最小值；

问题解决：
（3）如图③，某地有一块四边形的鱼塘，其中，，，为了方便钓鱼爱好者，以为边向鱼塘内搭建一个如图所示的三角形钓鱼台，再过点向鱼塘边搭建一个通道，为了节约成本，要求，且最短，试求通道的最小值（通道的宽度忽略不计）．

【推荐3】如图，已知与等腰的两腰分别相切于点，连接并延长到，使，连接．

（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）在AB边长为的情况下，填空：
①当的半径为________cm时，为等边三角形；
②当的半径为________cm时，四边形为正方形．