凯特平时常用底面为矩形的模具制作蛋糕，并以平行于模具任一边的方式进行横切或纵切，横切都是从模具的左边切割到模具的右边，纵切都是从模具的上边切割到模具的下边
用这种方式，可以切出数个大小完全相同的小块蛋糕在切割后，他发现小块蛋糕接触模具的地方外皮比较焦脆，以如图为例，横切2刀，纵切3刀，共计5刀，切出
个小块蛋糕，其中侧面有焦脆的小块蛋糕共有10个，所有侧面都不焦脆的小块蛋糕共有2个．
请根据上述切割方式，回答下列问题，并详细解释或完整写出你的解题过程：
（1）若对一块蛋糕切了4刀，则可切出几个小块蛋糕？请写出任意一种可能的蛋糕块数即可．
（2）今凯特根据一场聚餐的需求，打算制作出恰好60个所有侧面都不焦脆的小块蛋糕，为了避免劳累并加快出餐速度，在不超过20刀的情况下，请问凯特需要切几刀，才可以达成需求？请写出所有可能的情形．
用这种方式，可以切出数个大小完全相同的小块蛋糕在切割后，他发现小块蛋糕接触模具的地方外皮比较焦脆，以如图为例，横切2刀，纵切3刀，共计5刀，切出个小块蛋糕，其中侧面有焦脆的小块蛋糕共有10个，所有侧面都不焦脆的小块蛋糕共有2个．请根据上述切割方式，回答下列问题，并详细解释或完整写出你的解题过程：
（1）若对一块蛋糕切了4刀，则可切出几个小块蛋糕？请写出任意一种可能的蛋糕块数即可．
（2）今凯特根据一场聚餐的需求，打算制作出恰好60个所有侧面都不焦脆的小块蛋糕，为了避免劳累并加快出餐速度，在不超过20刀的情况下，请问凯特需要切几刀，才可以达成需求？请写出所有可能的情形．
更新时间：2021-07-07 10:32:30
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适中
(0.65)
【推荐1】【教材回顾】课本88页，有这样一段文字：人们通过长期观察发现，如果早晨天空中有棉絮状的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，我们经常用这样的方法探究规律．
【数学问题】三角形有3个顶点，如果在它的内部再画n个点，并以这（n+3）个点为顶点画三角形，那么最多可以剪得多少个这样的三角形？
【问题探究】为了解决这个问题，我们可以从n＝1，2，3等具体的、简单的情形入手，搜索最多可以剪得的三角形个数的变化规律．
【问题解决】
（1）表格中的a＝ ；
（2）你发现的变化规律是：三角形内的点每增加1个，最多剪得的三角形增加 个；
（3）猜想：当三角形内点的个数为n时，最多可以剪得 个三角形；
像这样通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．
【类比应用】
（1）四边形有4个顶点，在它的内部画1个点，把四边形剪成若干个小三角形，最多可以剪得 个小三角形；
（2）四边形内部每增加1个点，最多剪得的三角形增加 个；
（3）当四边形内点的个数为n时，最多可以剪得 个三角形；
（4）m边形内有n个点时，最多可以剪得 个三角形．
【数学问题】三角形有3个顶点，如果在它的内部再画n个点，并以这（n+3）个点为顶点画三角形，那么最多可以剪得多少个这样的三角形？
【问题探究】为了解决这个问题，我们可以从n＝1，2，3等具体的、简单的情形入手，搜索最多可以剪得的三角形个数的变化规律．
| 三角形内点的个数 | 图形 | 最多剪出的小三角形个数 |
| 1 |  | 3 |
| 2 |  | 5 |
| 3 |  | 7 |
| 4 | …… | a |
| …… | …… | …… |
（1）表格中的a＝ ；
（2）你发现的变化规律是：三角形内的点每增加1个，最多剪得的三角形增加 个；
（3）猜想：当三角形内点的个数为n时，最多可以剪得 个三角形；
像这样通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．
【类比应用】
（1）四边形有4个顶点，在它的内部画1个点，把四边形剪成若干个小三角形，最多可以剪得 个小三角形；
（2）四边形内部每增加1个点，最多剪得的三角形增加 个；
（3）当四边形内点的个数为n时，最多可以剪得 个三角形；
（4）m边形内有n个点时，最多可以剪得 个三角形．
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【推荐2】阅读并解决问题:归纳
人们通过长期观察发现，如果早晨天空中有棉絮状的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语.在数学里，我们也常用这样的方法探求规律，例如:三角形有3个顶点，如果在它的内部再画n个点，并以(n+3)个点为顶点,把三角形剪成若干个小三角形，那么最多可以剪得多少个这样的三角形? .为了解决这个问题，我们可以从n=1、n=2、nr=3 等具体的、简单的情形入手，探索最多可以剪得的三角形个数的变化规律.
(1)完成表格信息：_______、_________;
(2)通过观察、比较,可以发现：三角形内的点每增加1个，最多可以剪得的三角形增加_________个.于是，我们可以猜想：当三角形内的点的个数为n时，最多可以剪得____________个三角形.像这样通过对现象的观察、分析，从特殊到-般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳.在日常生活中，人们互相交谈时，常常有人在列举了一些现象后，说“这(即列举的现象)说明....其实这就是运用了归纳的方法.用归纳的方法得出的结论不一定正确，是否正确需要加以证实.
(3)请你借助表格尝试用归纳的方法探索: 1+3+5+7+......+(2n-1)的和是多少?并加以证实.
人们通过长期观察发现，如果早晨天空中有棉絮状的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语.在数学里，我们也常用这样的方法探求规律，例如:三角形有3个顶点，如果在它的内部再画n个点，并以(n+3)个点为顶点,把三角形剪成若干个小三角形，那么最多可以剪得多少个这样的三角形? .为了解决这个问题，我们可以从n=1、n=2、nr=3 等具体的、简单的情形入手，探索最多可以剪得的三角形个数的变化规律.
(1)完成表格信息：_______、_________;
(2)通过观察、比较,可以发现：三角形内的点每增加1个，最多可以剪得的三角形增加_________个.于是，我们可以猜想：当三角形内的点的个数为n时，最多可以剪得____________个三角形.像这样通过对现象的观察、分析，从特殊到-般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳.在日常生活中，人们互相交谈时，常常有人在列举了一些现象后，说“这(即列举的现象)说明....其实这就是运用了归纳的方法.用归纳的方法得出的结论不一定正确，是否正确需要加以证实.
(3)请你借助表格尝试用归纳的方法探索: 1+3+5+7+......+(2n-1)的和是多少?并加以证实.
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，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形……设图（n）中的沙漏形”的个数为
（n为自然数）
_______，
________（用含n的式子表示）；
，计算：
；
