【推荐1】如图，已知中，，，点D是所在平面内一点，连接，，．

   

(1)如图1，点D在上，，且，求的面积；
(2)如图2，点D为内部一动点，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，点G是线段的中点，连接，猜想线段，之间存在的位置关系和数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，点C关于直线的对称点为点，连接，，点D为内部一动点，连接．若，且，当线段最短时，直接写出的面积．

【推荐2】在中，直径与弦（非直径）交于点，弦交于点G，交于点F．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点N为弧上一点，连接，并延长交于点M，H为上一点，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点P为延长线上一点，连接交于点Q，延长交于点R，，连接交于点K，，求线段的长．

【推荐1】在平行四边形中，，，平分交线段于点，在□的外部作，使，，连接，，线段与交于点．

(1)当时，请直接写出线段和的数量关系；
(2)当时，
①请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
②若点是的三等分点，请直接写出的值．

【推荐1】以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？
I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）；
Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图③）；
Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图④）．

(1)在图①、②中，取的中点O，根据 　　 得，即A，B，C，D共圆；
(2)在图③中，画⊙O经过点A，B，D（图⑤）．假设点C落在外，交于点E，连接，可得      ，所以      ，得出矛盾；同理点C也不会落在内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证．

(3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点．
已知：如图⑥，锐角三角形的高，相交于点H，射线交于点F．
求证：是的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注）

(4)如图⑦，点P是外部一点，过P作直线，，的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上．求证：点P在的外接圆上．

【推荐3】在中，，，．点在射线上从点开始运动，过点作切于点，设．
   
(1)如图，当为何值时，圆心落在上，此时与的另一个交点为，直接写出与的位置关系，并求劣弧的长；（注：，，，取3）
(2)若点以每秒3个单位长的速度运动，求圆心在内部的时长；
(3)若与边只有一个公共点，直接写出半径的取值范围．