【推荐1】已知，正方形中，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点M、N，当绕点A旋转到时（如图1），求证

   

(1)下面是小东同学的证明过程，请补充完整．
证明：延长至点P，使，连接，如图1
(2)当旋转到时（如图2），线段、和之间的数量关系      ，若正方形的周长为4，则的周长是      ：
(3)当绕点A旋转到如图3的位置时，，线段、和之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．

【推荐2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点O作OD∥BC，交AC于点D．
   
（1）求∠ADO的度数；
（2）延长DO交⊙O于点E，过E作⊙O的切线，交CB延长线于点F，连接DF交OB于点G．
①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；
②若BG＝2，AD＝3，求四边形CDEF的面积．

【推荐3】【问题背景】
如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点，连接、，．

(1)【初步探究】求证：；
(2)【深入探究】求的度数；
(3)【拓展延伸】判断是什么三角形，并说明理由．

【推荐1】对于平面直角坐标系 xOy 中的点 A，给出如下定义：若存在点 B（不与点 A 重合，且直线 AB 不与 坐标轴平行或重合），过点 A 作直线 m∥x 轴，过点 B 作直线 n∥y 轴，直线 m，n 相交于点 C．当线段 AC，BC 的长度相等时，称点 B 为点 A   的等距点，称三角形 ABC 的面积为点 A 的等距面积． 例如：如 图，点 A（2，1），点 B（5，4），因为 AC= BC=3，所以 B 为点 A   的等距点，此时点 A 的等距面积为．
(1)点 A 的坐标是（0，1），在点 B₁（2，3），B₂ (1， 1) ， B₃ (3， 2) 中，点A的等距点为 ．
(2)点 A 的坐标是 (3，1) ，点 A 的等距点 B 在第三象限，
①若点 B 的坐标是 (5， 1) ，求此时点 A 的等距面积；
②若点 A 的等距面积不小于 2，请直接写出点 B 的横坐标 t 的取值范围．

【推荐2】已知关于x的方程x²－(k＋2)x＋2k＝0，
（1）求证：无论k取何值，方程一定有两个实数根；
（2）求证：无论k取何值，方程总有一定根；
（3）若等腰△ABC的边长a＝3，另两边长b、c恰好是这个方程的根，则△ABC的周长为_____．

【推荐3】阅读材料：若m²+2mn+2n²﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：∵m²+2mn+2n²﹣6n+9＝0
∴m²+2mn+n²+n²﹣6n+9＝0
∴（m+n）²+（n﹣3）²＝0
∴m+n＝0且n﹣3＝0
∴m＝﹣3，n＝3
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）若x²+2xy+2y²﹣2y+1＝0，求x、y的值；
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a²+b²＝10a+12b﹣61，且△ABC是等腰三角形，求c的值．