【推荐1】如图，中，，．

（1）利用直尺，圆规在边上找一点E，使得；（不需要写作法，但要保留作图痕迹）
（2）若厘米，求的长．

【推荐2】如图，已知在中，，是边上一点，以为直径的半圆与边相切，切点为，过点作，垂足为．

(1)求证：；
(2)若，，求半径以及的长．

【推荐3】如图，在等边的，边上分别取一点、，使，、相交于点，
（1）如图所示，求∠BME的度数，

（2）如图所示，过点作直线的垂线，垂足为，求证：2MH+DM=AE，

【推荐1】如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗?为什么?

【推荐2】数学思想方法作为数学学科的一般原理，在数学学习中至关重要．我们经常运用转化类比，数形结合、从特殊到一般等思想方法来解决一些数学问题．
如图①，在平行四边形ABCD中，点E是边的中点，点G是线段上一点，与相交于点F．若，求的值

【尝试探究】在图①中，过点E作交于点H，则的值为_______，的值为_____，的值为____________．
【类比延伸】如图（2），在①的条件下，若，则的值为______（用含a的代数式表示）
【拓展迁移】如图③，在平行四边形中，点E是边的中点，若点G在线段的延长线上，交的延长线于点F，若，则的值为_______（用含m的代数式表示）．

【推荐3】如图，在中，，点D是的中点，以为直径作，分别与交于点E，F，过点F作的切线，交于点G．

(1)求证：；
(2)求的长．

【推荐1】尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线．
已知：如图，直线及直线外一点．

   

求作：直线，使得，且直线经过点．；
作法：①在直线上取一点，连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点；
②分别以点，点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点（不与点重合）；
③经过，两点作直线．直线就是所求作的直线．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接．
∵          =          =          ，
∴四边形          是（填“矩形”“菱形”或“正方形”）
（          ）（填推理的依据）．
∴（          ）（填推理的依据）．

【推荐2】如图，已知点E为的边上的一点，且．
   
(1)尺规作图：作的角平分线，交于点M（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)连接，若，求证：四边形是菱形．

【推荐3】如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AD//BC，BD的垂直平分线经过点O，分别与AD、BC交于点E、F
   
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）求证：四边形BFDE为菱形．

【推荐1】阅读下列材料：
问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°．

解决下列问题：
(1)图（1）中的线段BE、EF、FD之间的数量关系是______．
(2)图（2），已知正方形ABCD的边长为8，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，求△EFC的周长．

【推荐2】如图所示，以正方形的点为坐标原点建立平面直角坐标系，其中线段在轴上，线段在轴上，其中正方形的周长为24．
   
(1)求出B、C两点坐标；
(2)若与y轴重合的直线l以每秒1个单位长度的速度由y轴向右平移，移动到与BC所在直线重合停止，移动过程中l与、交点分别为N、M，问：运动多长时间时，长方形的周长与长方形的周长之比为．
(3)在（2）的条件下，若直线l上有一点E，连接、，恰好满足，求出的大小．

【推荐3】 如图，点是正方形对角线上一点，，，垂足分别为、．若正方形的周长是，
(1)求证：四边形是矩形；
(2)求四边形的周长．