【推荐1】如图，是的直径，为上-动点，是半径上一动点（不与点，重合），过点作射线，分别交弦，于，两点，过点作的切线交于点．
   
(1)求证：．
(2)已知是的中点．
①若，判断四边形的形状，并说明理由．
②若，且，求的长．

【推荐2】如图，AC为矩形ABCD的对角线，AC的垂直平分线交AD、BC于点F、E．

(1)如图1，求证：四边形AECF为菱形．
(2)如图2，若，，请直接写出图中所有正切值等于的角．

【推荐3】如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．

【推荐1】如图，在中，，的平分线交于点D，，．

(1)求证：四边形为正方形；
(2)若，求四边形的面积．

【推荐2】如图①，在等腰直角三角板ABC中，斜边BC为2个单位长度，现把这块三角板在平面直角坐标系xOy中滑动，并使B、C两点始终分别位于y轴、x轴的正半轴上，直角顶点A与原点O位于BC两侧.
（1）取BC中点D，问OD+DA是否发生改变，若会，说明理由；若不会，求出OD+DA；
（2）你认为OA的长度是否会发生变化？若变化，那么OA最长是多少？OA最长时四边形OBAC是怎样的四边形？并说明理由；
（3）填空：当OA最长时A的坐标（ ， ），直线OA的解析式          .

【推荐3】已知：如图，在中，平分劣弧，与交于点E，点D在延长线上，，连接．

   

(1)求证：平分；
(2)连接、，延长交于点F，如果，求证：四边形是正方形．

【推荐1】如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，E是AC的中点，AE=2．经过点E作△ABE外接圆的切线交BC于点D，过点C作CF⊥BC交BE的延长线于点F，连接FD交AC于点H，FD平分∠BFC．

（1）求证：DE=DC；
（2）求证：HE=HC=1；
（3）求BD的长度．

【推荐2】在中，点A，点B，点P在圆上，．

(1)如图①，P为弦所对的优弧上一点，半径经过弦的中点M，求和的大小；
(2)如图②，P为弦所对的劣弧上一点，，过点B作的切线，与的延长线相交于点D，若，求的长．

【推荐3】如图，在中，，是的中线，点E是上的一点，以为直径的与相切于点M，交于点G，过点G作交于另一点F，连接．

(1)求证：；
(2)若，，求半径的长．