【推荐3】【了解概念】
折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点．

【概念应用】
（1）如图2，的半径为是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则的长为______；
【认识定理】
爱动脑筋的小亮发现将折线段放在圆中，且、、三点都在圆上时，就有数学中著名的阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），是的中点，，垂足为，则．
这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
【证明定理】
证明：如图3，在上截取，连接，，和．
是的中点，


……

（2）请按照上面的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分；
【灵活运用】
（3）如图4，已知等边三角形内接于，为弧上一点，于点，连接，若，，请直接写出的周长．