阅读材料，某个学习小组成员发现：在等腰
中，AD平分
，∵
，
，∴
，他们猜想：在任意中，一个内角角平分线分对边所成的两条线段与这个内角的两边对应成比例．
【证明猜想】如图1所示，在中，AD平分，求证：．
丹丹认为，可以通过构造相似三角形的方法来证明；
思思认为，可以通过比较
和
面积的角度来证明．
(1)请你从上面的方法中选择一种进行证明．
(2)【尝试应用】如图2，
是
的外接圆，点E是上一点（与B不重合，且
，连结
，并延长AE，BC交于点D，H为AE的中点，连结BH交AC于点G，求
的值．
(3)【拓展提高】如图3，在（2）的条件下，延长
交于点F，若
，
，求的直径（用x的代数式表示）．
中，AD平分，∵，，∴，他们猜想：在任意中，一个内角角平分线分对边所成的两条线段与这个内角的两边对应成比例．【证明猜想】如图1所示，在
中，AD平分，求证：．丹丹认为，可以通过构造相似三角形的方法来证明；
思思认为，可以通过比较
和面积的角度来证明．(1)请你从上面的方法中选择一种进行证明．
(2)【尝试应用】如图2，
是的外接圆，点E是上一点（与B不重合，且，连结，并延长AE，BC交于点D，H为AE的中点，连结BH交AC于点G，求的值．(3)【拓展提高】如图3，在（2）的条件下，延长
交于点F，若，，求的直径（用x的代数式表示）．
21-22九年级上·浙江宁波·期末 查看更多[5]
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更新时间：2022-01-24 06:25:00
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(0.4)
【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，
，
，
，点
的坐标为
.抛物线
经过
、两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点
是直线
上方抛物线上的一点，过点作
垂直
轴于点
，交线段于点
，使
最大.
①求点的坐标和的最大值.
②在直线上是否存在点
，使点在以为直径的圆上；若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
，，，点的坐标为.抛物线经过、两点.（1）求抛物线的解析式；
（2）点
是直线上方抛物线上的一点，过点作垂直轴于点，交线段于点，使最大.①求点
的坐标和的最大值.②在直线
上是否存在点，使点在以为直径的圆上；若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
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(0.4)
真题
【推荐2】如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6
(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；
(2)求AB的长；
(3)连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．
(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；
(2)求AB的长；
(3)连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．
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，连接
．
；
交
于点
，交
；
并延长交
于
，连接
，若
，求线段
的长．
【推荐1】已知点是线段上与点
不重合的一点，且
绕点逆时针旋转角
得到
绕点顺时针旋转角
得到
，连接
（1）如图1，当
时，求
的度数；
（2）如图2，当点
在
的延长线上时，求证： 
；
（3）如图3，过
的中点作
，过的中点
作
， 
与
交于点
，连接
，若
，求
的长度.
是线段上与点不重合的一点，且绕点逆时针旋转角得到绕点顺时针旋转角得到，连接（1）如图1，当
时，求的度数；（2）如图2，当点
在的延长线上时，求证： ；（3）如图3，过
的中点作，过的中点作， 与交于点，连接，若，求的长度.
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【推荐2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G．
（1）求证：
；
（2）FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；
（3）当
的值为多少时，△FDG为等腰直角三角形？
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；（2）FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；
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(0.4)
【推荐1】如图1，点O在线段AB上，AO＝2，OB＝1，OC为射线，且∠BOC＝60，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．
(1)当t＝
时，则OP＝ ，S△ABP＝ ；
(2)当△ABP是直角三角形时，求t的值；
(3)如图2，当AP＝AB时，过点A作AQ
BP，并使得∠QOP＝∠B，求证：AQ·BP＝3．
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时，则OP＝ ，S△ABP＝ ；(2)当△ABP是直角三角形时，求t的值；
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【推荐2】如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于D，作CH⊥AB于H，交⊙O于E．交AD于F，若AE∥CD．
（1）求证：AE＝EF；
（2）若cosC＝
，AH＝6，求HF的长．
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在直角坐标系
中，点
分别在
轴的正半轴上，点
在坐标原点.等腰直角三角板
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分别在
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将三角板
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解题方法
【推荐1】如图，⊙O的直径
，点为弧上一点，连接
、
，点
为劣弧
上一点（点不与点、重合），连接
交、于点、．
（1）当
时，的长度为______；
（2）当点为劣弧的中点，且
∽
时，求
的度数；
（3）当
，且
为直角三角形时，求四边形
的面积（直接写出结果）．
，点为弧上一点，连接、，点为劣弧上一点（点不与点、重合），连接交、于点、．（1）当
时，的长度为______；（2）当点
为劣弧的中点，且∽时，求的度数；（3）当
，且为直角三角形时，求四边形的面积（直接写出结果）．
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名校
解题方法
【推荐2】△ABC中，BC＝AC＝5，AB＝8，CD为AB边上的高，如图1，A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△ABC在平面上滑动．如图2，设运动时间表为t秒，当B到达原点时停止运动．
（1）当t＝0时，求点C的坐标；
（2）当t＝4时，求OD的长及∠BAO的大小；
（3）求从t＝0到t＝4这一时段点D运动路线的长；
（4）当以点C为圆心，CA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．
（1）当t＝0时，求点C的坐标；
（2）当t＝4时，求OD的长及∠BAO的大小；
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【推荐3】新定义：在平面直角坐标系
中，若几何图形G与
有公共点，则称几何图形G为的关联图形，特别地，若的关联图形G为直线，则称该直线为的关联直线．如图1，
为的关联图形，直线l为的关联直线．
(1)已知⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，以下图形：①直线
；②直线
；③双曲线
，是
的关联图形的是 （请直接写出正确的序号）．
(2)如图2，
的圆心为
，半径为1，直线
与x轴交于点N，直线l是⊙T的关联直线，求点N的横坐标x的取值范围．
(3)正方形
是（2）中的关联图形，其中A点坐标
，点P是上一动点，则
的最小值为 ．
中，若几何图形G与有公共点，则称几何图形G为的关联图形，特别地，若的关联图形G为直线，则称该直线为的关联直线．如图1，为的关联图形，直线l为的关联直线． (1)已知⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，以下图形：①直线
；②直线；③双曲线，是的关联图形的是 （请直接写出正确的序号）．(2)如图2，
的圆心为，半径为1，直线与x轴交于点N，直线l是⊙T的关联直线，求点N的横坐标x的取值范围．(3)正方形
是（2）中的关联图形，其中A点坐标，点P是上一动点，则的最小值为 ．
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