【推荐1】如图，A是以BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接并延长CG与BE相交于点F，连接并延长AF与CB的延长线相交于点P．
（1）求证：BF＝EF；
（2）求证：PA是圆O的切线；
（3）若FG＝EF＝3，求圆O的半径和BD的长度．
   

【推荐2】综合探究
如图，在中，，在上取一点，以点为圆心，长为半径作圆，分别交于点，交于点，交于点，连接，且为的中点．
【问题初探】求证：为的切线；
【深入探究】连接，求证：；
【问题拓展】若，，求，的长．

【推荐1】如图，菱形中，对角线和交于点，过点作分别交、于点和点，点是延长线上一点，且满足，延长交于点．

（1）若，，求的长；
（2）求证：；
（3）若，请直接写出的值．

【推荐2】定义：当点在线段上，时，我们称为点在线段上的点值，记作．如点是的中点时，即，则；反过来，当时，则有．

(1)如图1，点在线段上，若，则　　；若，则　　；
(2)如图2，在中，，于点，，，点、分别从点和点同时出发，点沿线段以的速度向点运动，点沿线段以的速度向点运动，当点到达点时，点、均停止运动，连接交于点，设运动时间为，．
①当时，求的取值范围；
②当，求的值；
③当时，求的值．

【推荐3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F.
(1)如图1，当点E在线段AC上时，求证：△DEC∽△DFB.
(2)当点E在线段AC的延长线上时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长.
   

【推荐2】如图，在正方形中，，为上一点，以为直角边构造等腰直角（点在左侧），交于点，分别延长，相交于点，交于点，连接．

(1)求证：．
(2)当时，求的值．
(3)当点H关于直线的对称点落在的边上时，求的度数．
(4)若与的面积相等，求与面积的比值．

【推荐3】综合与探究
如图，抛物线与轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与轴正半轴交于点C．
（1）连接，，若的面积为10，求抛物线的函数表达式．
（2）若P是轴上的一个动点，过点P作垂直于轴的直线分别交直线和抛物线于点D和点E．设点P的横坐标为．
①当点E在第一象限，且时，求的值．
②若D，E，P三个点中恰有一点是其他两点所连线段的中点（三点重合除外），则称D，E，P三点为“共生点”．当点D，E，P三点为“共生点”时，请直接写出的值．
                  

【推荐1】四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD，2∠BDC+∠ADB＝180°．

（1）如图1，求证：AC＝BC；
（2）如图2，E为⊙O上一点， ＝，F为AC上一点，DE与BF相交于点T，连接AT，若∠BFC＝∠BDC+∠ABD，求证：AT平分∠DAB；
（3）在（2）的条件下，DT＝TE，AD＝8，BD＝12，求DE的长．

【推荐2】【问题探究】如图，

(1)如图1，已知中，，，求周长的最大值．
(2)西安市计划用一块空地为城市居民新建一个四边形的公园，如图2，是公园的设计示意图．已知，，，，点为公园内的活动舞台中心，按照设计要求，现要沿、、修建三条笔直的步道（步道宽度忽略不计）且满足，．为了让居民更好地锻炼身体，请问是否存在三条步道长度和的最大值？若存在，请求出步道长度和的最大值；若不存在，请说明理由．