【推荐1】如图，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以点D为圆心、DA为半径做圆弧交半圆O于点P．连结DP并延长交AB于点E．

（1）求证：DE为半圆O的切线；
（2）求的值．

【推荐2】如图，在 Rt中，，以为直径的交于点E，点D是边上的中点，连接．
   
(1)求证：与相切；
(2)连接交于点F，若的半径为3，，求的值．

【推荐3】如图，点是⊙O直径延长线上一点，点在⊙O上，且，

（1）判断是否是⊙O的切线，请说明理由；
（2）若点是劣弧上一点，与相交于点，且，，求⊙O的直径长

【推荐1】如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，垂足为，交于，连接．
   
(1)判断与的位置关系，并证明你的结论；
(2)若，求的长；
(3)若是弧的中点，的半径为5，求图中阴影部分的面积．

【推荐2】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，若∠ABD=，DF=3，求图中阴影部分的面积．

【推荐3】如图，在中，，以为直径的交于点D，点E为的中点，连接．

(1)求证：为的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．

【推荐1】问题提出
（1）如图1，在中，，，的平分线交于点D．过点D分别作．垂足分别为E，F，则图1中与线段相等的线段是 　 　．
问题探究
（2）如图2，是半圆O的直径，．P是上一点，且，连接，的平分线交于点C，过点C分别作，垂足分别为E，F，求线段的长．
问题解决
（3）如图3，是某小区内“儿童乐园”的设计示意图．已知的直径，点C在上，且．P为上一动点，连接并延长，交于点D．连接，．过点P分别作，垂足分别为E，F．按设计要求，四边形为沙坑，阴影部分地面铺设塑胶，圆内其余部分为绿化区．按照设计要求，发现沙坑（四边形）的面积为时，整体布局比较合理．试求当四边形的面积为时的长．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)，B(3，4)，P 为线段 OA 上一动点，过 O，P，B 三点的圆交 x 轴正半轴于点 C，连结 AB, PC，BC，设 OP=m.
（1）求证：当 P 与 A 重合时，四边形 POCB 是矩形.
（2）连结 PB，求 tan∠BPC 的值.
（3）记该圆的圆心为 M，连结 OM，BM，当四边形 POMB 中有一组对边平行时，求所有满足条件的 m 的值.
（4）作点 O 关于 PC 的对称点O ，在点 P 的整个运动过程中，当点O 落在△APB 的内部 (含边界)时，请写出 m 的取值范围.

【推荐3】如图，AB是⊙O的直径．CD⊥AB于点E，G是BC上任意一点，连接GD交AB于点F，连接AD，AG．

（1）求证：∠ADC＝∠AGD．
（2）若CD＝AG，
①求证：△ADG是等腰三角形．
②连接BG，若BF＝2，BG＝3，求⊙O的半径．