如图①，在△ABC中，点D与点E分别为CA，CB上的点，
．现将△CDE绕点C顺时针方向旋转，连接AD，BE．
(1)在图②中，求证：△ACD∽△BCE；
(2)若∠C＝90°，CA＝CB＝2，点D与点E分别为CA，CB的中点．
①如图③，当△CDE旋转到B，D，E三点一线且D在B，E之间时，求AD的长度；
②求在△CDE旋转过程中△ABE面积的最大值．
．现将△CDE绕点C顺时针方向旋转，连接AD，BE．(1)在图②中，求证：△ACD∽△BCE；
(2)若∠C＝90°，CA＝CB＝2，点D与点E分别为CA，CB的中点．
①如图③，当△CDE旋转到B，D，E三点一线且D在B，E之间时，求AD的长度；
②求在△CDE旋转过程中△ABE面积的最大值．
更新时间：2022-03-11 14:51:03
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(0.4)
【推荐1】已知正方形 
和正方形 
，连接 
交 
于点 
，点 
是 的中点，过点 作 
于 
，
，
．
(1)如图1，点
，
，
在同一直线上，点 
在 边上，求 
的长；
(2)把正方形 绕着点逆时针旋转 
．
①如图2，当点落在上时，求
的长；
②如图3，当
时，求的长．
和正方形 ，连接 交 于点 ，点 是 的中点，过点 作 于 ，，．(1)如图1，点
，， 在同一直线上，点 在 边上，求 的长；(2)把正方形
绕着点逆时针旋转 ．①如图2，当点
落在上时，求的长；②如图3，当
时，求的长．
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(0.4)
名校
【推荐2】将
绕点
按逆时针方向旋转
度，并使各边长变为原来的
倍，得
，如图①所示，
，我们将这种变换记为
．
(1)如图①，对作变换
得到，则
_________；直线与直线
所夹的锐角为_________度；
(2)如图②，中，
，对作变换得到，使点B、C、
在同一直线上，连接
且
，求和的值；
(3)如图③，中，
，对作变换得到，便点
在同一直线上，且
，求和的值．
绕点按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的倍，得，如图①所示，，我们将这种变换记为． (1)如图①，对
作变换得到，则_________；直线与直线所夹的锐角为_________度；(2)如图②，
中，，对作变换得到，使点B、C、在同一直线上，连接且，求和的值；(3)如图③，
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解题方法
【推荐3】定义：如图1，点P为线段AB上一点，如果
=k，那么我们称点P是线段AB的黄金分割点，
叫做黄金分割数．
理解：（1）利用图1，运用一元二次方程的知识，求证：黄金分割数；
应用：（2）如图2，抛物线y＝x2+nx＋2n（n<0）的图象与x轴交于A、B两点（OA<OB），若原点O是线段AB的黄金分割点，①求线段AB的长；②直接写出点A和点B的坐标．（参考知识点：若一元二次方程x2+px+q=0的两个实根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=－p，x1x2=q）
=k，那么我们称点P是线段AB的黄金分割点，叫做黄金分割数． 理解：（1）利用图1，运用一元二次方程的知识，求证：黄金分割数
；应用：（2）如图2，抛物线y＝x2+nx＋2n（n<0）的图象与x轴交于A、B两点（OA<OB），若原点O是线段AB的黄金分割点，①求线段AB的长；②直接写出点A和点B的坐标．（参考知识点：若一元二次方程x2+px+q=0的两个实根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=－p，x1x2=q）
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(0.4)
【推荐1】情景一：小明在数学兴趣小组探究活动课上发现：对于一个△ABC，分别作边AB，AC的垂直平分线DM，EN相交于点O，如图1所示，此时经过测量后，得到∠MAN＝30°，根据上述条件，能不能得到∠BAC的度数呢？小明结合所学过的知识进行了以下论证．
证明：∵DM是边AB的垂直平分线，
∴MA＝MB，
∴∠MAB＝∠B．
同理可得∠NAC＝∠C，
则
解得∠BAC＝105°．
情景二：小明继续对上述问题进行探究发现：若边AB，AC的垂直平分线DM，EN相交于点O，如图2所示，试判断∠MAN与∠BAC之间的数量关系．
(1)情景一中得到∠MAB＝∠B的理由是______．
(2)在图1的情况下，若∠MAN的度数为α，则∠BAC的大小为______（用含α的代数式表示）．
(3)请写出情景二中∠MAN与∠BAC之间的数量关系，并说明理由．
证明：∵DM是边AB的垂直平分线，
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∴∠MAB＝∠B．
同理可得∠NAC＝∠C，
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【推荐2】平面直角坐标系中，A（0，4），B（﹣4，0），点C为x轴上的点，且△ABC的面积为2．
（1）如图1，求点C的坐标；
（2）如图2，若点C在点B的右侧，连AC并延长至点D，使得DO＝AO，过点B作BE∥y轴交OD的延长线于点E，求OE﹣BE的值；
（3）如图3，若点C在点B的右侧，点P为y轴上一点，CP为腰作等腰△CPQ，其中PC＝PQ，且∠CPQ＝2∠ACO＝2α（α为定值），AC＝5，连接OQ，求线段OQ的最小值．
（1）如图1，求点C的坐标；
（2）如图2，若点C在点B的右侧，连AC并延长至点D，使得DO＝AO，过点B作BE∥y轴交OD的延长线于点E，求OE﹣BE的值；
（3）如图3，若点C在点B的右侧，点P为y轴上一点，CP为腰作等腰△CPQ，其中PC＝PQ，且∠CPQ＝2∠ACO＝2α（α为定值），AC＝5，连接OQ，求线段OQ的最小值．
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(0.4)
【推荐3】倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段
要满足两个条件：
线段一个端点是图中一条线段
的中点；
线段与这条线段不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．
【应用举例】如图（1），已知：
为
的中线，求证：
．
简证：如图（2），延长到，使得
，连接
，易证
，得
，在
中，
，．
【问题解决】
（1）如图（3），在中，是边上的中线，是上一点，且
，延长
交
于
，求证：
．
（2）如图（4），在中，
是边的中点，
分别在边
上，
，若
，求
的长．
（3）如图（5），是的中线，
，且
，请直接写出与的数量关系_ 及位置关系_ ．
要满足两个条件：线段一个端点是图中一条线段的中点；线段与这条线段不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．【应用举例】如图（1），已知：
为的中线，求证：． 简证：如图（2），延长
到，使得，连接，易证，得 ，在中， ，． 【问题解决】
（1）如图（3），在
中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：． （2）如图（4），在
中，是边的中点，分别在边上，，若，求的长． （3）如图（5），
是的中线，，且，请直接写出与的数量关系_ 及位置关系_ ．
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较难
(0.4)
【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，四边形
为矩形，已知点
，点在
轴正半轴上且坐标为
，将矩形绕点逆时针旋转
得到矩形
．
(1)连接
，求
的面积；(2)如图①，连接
交于点，连接，若
，求
的值：(3)如图②，连接
，取的中点，连接，以
为邻边作
，若点恰好在边上，求的值
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】已知
和
都是等腰直角三角形，
，
，
．
(1)如图1，连接
，
，请直接写出线段与的数量关系和位置关系；
(2)若将绕点顺时针旋转，
①如图2，当点恰好在
边上时，求证：
②当点，，三点在同一条直线上时，若
，
，请直接写出线段的长．
和都是等腰直角三角形，，，．(1)如图1，连接
，，请直接写出线段与的数量关系和位置关系；(2)若将
绕点顺时针旋转，①如图2，当点
恰好在边上时，求证：②当点
，，三点在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长．
您最近一年使用：0次
中，
，
，
，将
顺时针旋转得到
，其中点
，
的延长线上时，连接
，求
，
，求
的值；
.在旋转过程中，若
为以
解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】综合与实践．
模型启迪：
（1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使
，连接
．由
，得
，则
与的数量关系为 ，位置关系为 ．
模型探索：
（2）如图2，在中，
平分
，为边的中点，过点作
，交
的延长线于点
，交边于点
．试判断
与
的数量关系，并说明理由．
（3）图3，在中，为边的中点，连接，为边上一点，过点作
于点，连接交于点，且
．求证：
．
模型应用：
（4）如图4，在（3）的条件下，延长至点
，使
，连接
，交的延长线于点
．若
，
，
，请直接写出线段
的长．
模型启迪：
（1）如图1，在
中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接．由，得，则与的数量关系为 ，位置关系为 ． 模型探索：
（2）如图2，在
中，平分，为边的中点，过点作，交的延长线于点，交边于点．试判断与的数量关系，并说明理由．（3）图3，在
中，为边的中点，连接，为边上一点，过点作于点，连接交于点，且．求证：．模型应用：
（4）如图4，在（3）的条件下，延长
至点，使，连接，交的延长线于点．若，，，请直接写出线段的长．
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(0.4)
真题
【推荐2】如图，
是的外接圆，点O在BC上，的角平分线交于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．的切线；
(2)求证：
∽
；
(3)若
，
，求点O到AD的距离．
是的外接圆，点O在BC上，的角平分线交于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
的切线；(2)求证：
∽；(3)若
，，求点O到AD的距离．
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(0.4)
真题
名校
【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，直线
分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE，动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．
（1）求点B的坐标和OE的长；
（2）设点Q2为(m，n)，当
tan∠EOF时，求点Q2的坐标；
（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．
①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．
②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．
分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE，动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点B的坐标和OE的长；
（2）设点Q2为(m，n)，当
tan∠EOF时，求点Q2的坐标；（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．
①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．
②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．
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