【推荐1】数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片折叠，使边、都落在对角线上，展开得折痕、，连接，如图1．

转一转：将图1中的绕点旋转，使它的两边分别交边、于点、，连接，如图2．
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线剪开，如图4．
(1)______，写出图中两个等腰三角形：______（不需要添加字母）；
(2)线段、、之间的数量关系为______；
(3)连接正方形对角线，若图2中的的边、分别交对角线于点、点．如图3，求的值；
(4)求证：．

【推荐2】如图,是的角平分线, 延长交的外接圆于点,过三点的圆交的延长线于点，连结．
(1)求证：∽；
(2) 若, 求的长；
(3) 若∥, 试判断的形状，并说明理由．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中，．
   
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，点D、E是线段BC上的两点（点E在点D的右侧），，过点D作轴，交抛物线于点P，过点E作轴于点F，连接，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值；
(3)如图②，在（2）取得面积最大的条件下，连接，将线段沿射线方向平移，平移后的线段记为，当点在第二象限时，设G为y轴上的动点，是否存在以为斜边的等腰？若存在，请直接写出点G的坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在矩形中，作于点E，于点F，连接BE、DF．
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
（2）若矩形的宽与长之比，求证：E、F是对角线AC的三等分点．
（3）若四边形与矩形的面积之比为，请直接写出矩形的宽与长之比．

【推荐3】已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AD＝AC，BC＝4，过A，D两点作⊙O，交AB于点E，
（1）求弦AD的长；
（2）如图1，当圆心O在AB上且点M是⊙O上一动点，连接DM交AB于点N，求当ON等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？
（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时，过D作DH⊥AB（垂足为H）并交⊙O于点P，问：当⊙O变动时DP﹣DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．

【推荐1】已知:点在上,弦,垂足,弦,垂足为,弦与相交于点；
(1)如图,求证:；
(2)如图,连接,当平分时,求证:弧弧；
(3)如图,在(2)的条件下,半径与相交于点,连接,若,求线段的长.