【推荐1】如图，在矩形ABCD中， ， ，将矩形沿直线EF折叠．使得点A恰好落在BC边上的点G处，且点E、F分别在边AB、AD上（含端点），连接CF.
（1）当 时，求AE的长；
（2）当AF取得最小值时，求折痕EF的长；
（3）连接CF，当 是以CG为底的等腰三角形时，直接写出BG的长.

【推荐2】已知关于x的方程，其中p，q都是实数．
(1)若时，方程有两个不同的实数根，，且，求实数p的值．
(2)若方程有三个不同的实数根，，，且，求实数p和q的值．
(3)是否同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根，，，且？若存在，求出所有满足条件的p，q．若不存在，说明理由．

【推荐3】若0是关于x的方程（m-2）x²+3x+m²-2m-8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况．

【推荐1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）．
(1)若点的坐标为，
①求此时二次函数的解析式；
②当时，函数值的取值范围是，求的值；
(2)将该二次函数图象在轴上方的部分沿轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象，若当时，这个新函数的函数值随的增大而增大，结合函数图象，求的取值范围．

【推荐2】关于x的二次函数（k为常数）和一次函数．
（1）求证：函数的图象与x轴有交点．
（2）已知函数的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，
①试求此时k的值．
②若，试求x的取值范围．

【推荐3】已知拋物线．
(1)若此拋物线与轴只有一个公共点且过点．
①求此抛物线的解析式；
②直线与该抛物线交于点和点．若，求的取值范围．
(2)若，将此抛物线向上平移个单位得到新抛物线，当时，；当时，．试比较与1的大小，并说明理由．

【推荐1】蔬菜大棚是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线的一部分构成（以下简记为“抛物线”），其中，，现取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图①所示平面直角坐标系．请结合图形解答下列问题：

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图②，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，其中L，R在抛物线上，若，求两个正方形装置的间距的长；

(3)如图③，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，大棚截面的阴影为，此刻，过点K的太阳光线所在的直线与抛物线交于点P，求线段的长．

【推荐2】小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：
求解体验：
（1）已知抛物线y＝﹣x²+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b＝　 　，顶点坐标　 　，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线的表达式是　 　．
抽象感悟：
我们定义：对于抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y'，则我们又称抛物线y'为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．
（2）已知抛物线y＝﹣x²﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y'，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．
问题解决：
（3）已知抛物线y＝ax²+2ax﹣b（a≠0）若抛物线y的衍生抛物线为y'＝bx²﹣2bx+a²（b≠0），两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标．

【推荐1】如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象交于点，．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点为轴正半轴上一点，当的面积为9时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，将直线向上平移，平移后的直线交反比例函数图象于点，交轴于点．点为平面直角坐标系内一点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．

【推荐2】如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．已知点，点．

(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)点M是反比例函数图像上一点，当与的面积相等时，请直接写出点M的横坐标；
(3)将射线绕点A旋转α度后与双曲线交于另一点Q，若，请求出点Q的坐标．