我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B'C'，当a+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”．
(1)[特例感知]在图2，图3中，△AB'C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形，且BC＝6时，则AD长为 ．
②如图3，当∠BAC＝90°，且BC＝7时，则AD长为 ．
(2)[猜想论证]在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑延长AD或延长B'A，…）
(3)[拓展应用]如图4，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，AB＝12，CD＝6，以CD为边在四边形ABCD内部作等边△PCD，连接AP，BP．若△PAD是△PBC的“旋补三角形”，请直接写出△PBC的“旋补中线”长及四边形ABCD的边AD长．
(1)[特例感知]在图2，图3中，△AB'C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形，且BC＝6时，则AD长为 ．
②如图3，当∠BAC＝90°，且BC＝7时，则AD长为 ．
(2)[猜想论证]在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑延长AD或延长B'A，…）
(3)[拓展应用]如图4，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，AB＝12，CD＝6，以CD为边在四边形ABCD内部作等边△PCD，连接AP，BP．若△PAD是△PBC的“旋补三角形”，请直接写出△PBC的“旋补中线”长及四边形ABCD的边AD长．
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更新时间：2022-04-12 15:02:54
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
【推荐1】如图，在等边△ABC中，AB=4cm，动点D从C出发沿线段CB方向以每秒1cm的速度向终点B运动．过点D作DE⊥BC交边AC或AB于点E，在DE的左侧作△DEF，使∠EFD＝90°，∠FDE＝30°，设点D的运动时间为t（秒）．
(1)直接写出EF的长度（用含t的代数式来表示）．
(2)若点F落在△ABC内部，求t的取值范围．
(3)求△ABC与△DEF重合图形部分的面积S与时间t之间的函数解析式．
(4)若点F关于DE的对称点为P，当点P到△ABC中某两边所在直线的距离相等时，请直接写出t的值．
(1)直接写出EF的长度（用含t的代数式来表示）．
(2)若点F落在△ABC内部，求t的取值范围．
(3)求△ABC与△DEF重合图形部分的面积S与时间t之间的函数解析式．
(4)若点F关于DE的对称点为P，当点P到△ABC中某两边所在直线的距离相等时，请直接写出t的值．
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困难
(0.15)
【推荐2】如图，
，
，
，
．
，
两点分别从
，
同时出发，点沿折线
向终点运动，在
上的速度为每秒4个单位长度，在
上的速度为每秒2个单位长度；点以每秒
个单位长度的速度沿线段
向终点A运动．过点作
于点
，以
，
为邻边作矩形
．设运动时间为
秒，矩形和
重叠部分的图形面积为
．
(1)当点和点重合时，
______；
(2)求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
(3)在运动过程中，连接
，取中点
，连接
，直接写出的最小值．
，，，．，两点分别从，同时出发，点沿折线向终点运动，在上的速度为每秒4个单位长度，在上的速度为每秒2个单位长度；点以每秒个单位长度的速度沿线段向终点A运动．过点作于点，以，为邻边作矩形．设运动时间为秒，矩形和重叠部分的图形面积为．(1)当点
和点重合时，______；(2)求
关于的函数解析式，并写出的取值范围；(3)在运动过程中，连接
，取中点，连接，直接写出的最小值．
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、
、
、
都称为“雁点”．
，求第一象限内，线段
的垂直平分线l上的“雁点”
，点
，当
时，求“雁点”
是等边三角形，点
分别在边
和
的延长线上且
，连接
交
，点
为
并延长
于点
，点
与
交于点
，求
的面积．
解答题-问答题
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困难
(0.15)
【推荐1】如图1，一张四边形纸片ABCD中，AB
CD，∠A+∠B＝90°，M为AB边上点，MB＝MC，已知AD＝8，CD＝5，BC＝6，如图2，沿MC把这张纸片剪成△B1C1M1与四边形AM2C2D，将纸片△B1C1M1，沿射线BA方向平移，当点B1与点A重合时，停止平移．
(1)求图1中，AB的长度；
(2)如图3，过点D作DGM2C2，且与AB交于点G，当点M在线段AG（不含端点）上时，AD与M1C1交于点E，B1C1与DG交于点F，试判断四边形C1DFE的形状，并说明理由；
(3)设平移距离M1M2＝x，△B1C1M1与四边形AM2C2D重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式以及自变量的取值范围．
CD，∠A+∠B＝90°，M为AB边上点，MB＝MC，已知AD＝8，CD＝5，BC＝6，如图2，沿MC把这张纸片剪成△B1C1M1与四边形AM2C2D，将纸片△B1C1M1，沿射线BA方向平移，当点B1与点A重合时，停止平移．(1)求图1中，AB的长度；
(2)如图3，过点D作DG
M2C2，且与AB交于点G，当点M在线段AG（不含端点）上时，AD与M1C1交于点E，B1C1与DG交于点F，试判断四边形C1DFE的形状，并说明理由；(3)设平移距离M1M2＝x，△B1C1M1与四边形AM2C2D重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式以及自变量的取值范围．
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(0.15)
【推荐2】在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M，FH的中点是P．
（1）如图1，点A、C、E在同一条直线上，根据图形填空：
①△BMF是__________三角形；
②MP与FH的位置关系是___________；MP与FH的数量关系是____________；
（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，解答下列问题：
①证明：△BMF是等腰三角形；
②（1）中得到的MP与FH的位置关系和数量关系是否仍然成立？证明你的结论；
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，（2）中的三个结论还成立吗？（成立的不需要说明理由，不成立的需要说明理由）
（1）如图1，点A、C、E在同一条直线上，根据图形填空：
①△BMF是__________三角形；
②MP与FH的位置关系是___________；MP与FH的数量关系是____________；
（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，解答下列问题：
①证明：△BMF是等腰三角形；
②（1）中得到的MP与FH的位置关系和数量关系是否仍然成立？证明你的结论；
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，（2）中的三个结论还成立吗？（成立的不需要说明理由，不成立的需要说明理由）
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困难
(0.15)
【推荐3】我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”．如图1，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，则四边形ABCD是“对直角四边形”．
（1）“对角线相等的对直角四边形是矩形”是______命题；（填“真”或“假”）
（2）如图2，在对直角四边形ABCD中，∠DAB＜90°，AD+CD=AB+BC．试说明△ADC的面积与△ABC的面积相等；
（3）如图3，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，过AB的中点D作射线DP∥AC，交BC于点O，∠BDP与∠ADP的角平分线分别交BC，AC于点E、F．
①图中是“对直角四边形”的是______；
②当OP的长是______时，四边形DEPF为对直角四边形．
（1）“对角线相等的对直角四边形是矩形”是______命题；（填“真”或“假”）
（2）如图2，在对直角四边形ABCD中，∠DAB＜90°，AD+CD=AB+BC．试说明△ADC的面积与△ABC的面积相等；
（3）如图3，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，过AB的中点D作射线DP∥AC，交BC于点O，∠BDP与∠ADP的角平分线分别交BC，AC于点E、F．
①图中是“对直角四边形”的是______；
②当OP的长是______时，四边形DEPF为对直角四边形．
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【推荐1】【了解概念】
有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．
（1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；
（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论；
【拓展提升】
（3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设
＝u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式．
有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．
（1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；
（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论；
【拓展提升】
（3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设
＝u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式．
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(0.15)
【推荐2】图1是一张面积为
，两直角边的和为
的三角形纸片
，
，
．
(1)求
，的长；
(2)沿三角形纸片的斜边的中线
把这张纸片剪成
和
两个三角形（如图2）．将纸片沿直线
方向平移(点，
，
，
始终在同一直线上)，当点与点重合时，停止平移（如图3）．在平移的过程中，
与
交于点
，
与
，分别交于点
，．设平移距离
为，和重复部分面积为，请写出与的函数关系式，以及自变量的取值范围；
(3)对于（2）中结论是否存在这样的，使得重复部分面积等于原面积的
？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
，两直角边的和为的三角形纸片，，． (1)求
，的长；(2)沿三角形纸片
的斜边的中线把这张纸片剪成和两个三角形（如图2）．将纸片沿直线方向平移(点，，，始终在同一直线上)，当点与点重合时，停止平移（如图3）．在平移的过程中，与交于点，与，分别交于点，．设平移距离为，和重复部分面积为，请写出与的函数关系式，以及自变量的取值范围；(3)对于（2）中结论是否存在这样的
，使得重复部分面积等于原面积的？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
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困难
(0.15)
【推荐3】如图1，在中，把绕点顺时针旋转
（
）得到
，把绕点逆时针旋转
得到
，连接
．当
时，我们称
是的“旋补三角形”，
边上的中线
叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．
(1)在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．
①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为
______；
②如图3，当
，
时，则长为_______．
(2)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
(3)如图4，在四边形
，，
，
，
，
，在四边形内部是否存在点，使
是
的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．
中，把绕点顺时针旋转（）得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． (1)在图2，图3中，
是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．①如图2，当
为等边三角形时，与的数量关系为______；②如图3，当
，时，则长为_______．(2)在图1中，当
为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．(3)如图4，在四边形
，，，，，，在四边形内部是否存在点，使是的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．
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困难
(0.15)
真题
名校
【推荐1】如图1，在中，
，点
分别为边
的中点，连接
．
初步尝试：（1）与的数量关系是_________，与的位置关系是_________．
特例研讨：（2）如图2，若
，先将
绕点顺时针旋转（为锐角），得到
，当点
在同一直线上时，
与相交于点，连接
．
的度数；
（2）求的长．
深入探究：（3）若
，将绕点顺时针旋转，得到，连接，．当旋转角满足
，点
在同一直线上时，利用所提供的备用图探究
与
的数量关系，并说明理由．
中，，点分别为边的中点，连接．初步尝试：（1）
与的数量关系是_________，与的位置关系是_________．特例研讨：（2）如图2，若
，先将绕点顺时针旋转（为锐角），得到，当点在同一直线上时，与相交于点，连接．
的度数；（2）求
的长．深入探究：（3）若
，将绕点顺时针旋转，得到，连接，．当旋转角满足，点在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，并说明理由．
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困难
(0.15)
名校
【推荐2】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线
交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴点B，交y轴的正半轴于点C，且OB＝2OC．
（1）求a的值；
（2）如图1，点D、P分别在一、三象限的抛物线上，其中点P的横坐标为t，连接BP，交y轴于点E，连接CD、DE，设△CDE的面积为s，若
，求点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，射线AE与射线FB交于点G，连接AP，若∠AGB＝2∠APB，求点P的坐标．
交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴点B，交y轴的正半轴于点C，且OB＝2OC．（1）求a的值；
（2）如图1，点D、P分别在一、三象限的抛物线上，其中点P的横坐标为t，连接BP，交y轴于点E，连接CD、DE，设△CDE的面积为s，若
，求点D的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，射线AE与射线FB交于点G，连接AP，若∠AGB＝2∠APB，求点P的坐标．
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困难
(0.15)
名校
【推荐3】如图1，点O为直线上一点，将两个含
角的三角板
和三角板
如图摆放，使三角板的一条直角边
在直线上，其中
．
(1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边
在
的内部且平分，此时三角板旋转的角度为 度；
(2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究
与
之间满足什么等量关系，并说明理由；
(3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒
的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒
的速度按逆时针方向旋转，将射线
绕点O以每秒
的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为
，射线平分，射线
平分
，当射线
重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在第二次相遇前，当
时，直接写出旋转时间t的值．
上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边在直线上，其中．(1)将图1中的三角板
绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，此时三角板旋转的角度为 度；(2)三角板
在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由；(3)如图3，将图1中的三角板
绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在第二次相遇前，当时，直接写出旋转时间t的值．
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