【推荐1】已知小华家、小夏家、小红家及学校在同一条大路旁，一天，他们放学后从学校出发，先向南行1000m到达小华家A处，继续向北行3000m到达小红B家处，然后向南行6000m到小夏家C处．
（1）以学校以原点，以向南方向为正方向，用1个单位长度表示1000m，请你在数轴上表示出小华家、小夏家、小红家的位置；
（2）小红家在学校什么位置？离学校有多远？

【推荐2】纸面上有一数轴，折叠纸面.
(1)若1表示的点与 - 1表示的点重合，则 - 3表示的点与数 _________ 表示的点重合；
(2)若 - 1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①13表示的点与数 _________ 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为2023（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数分别是多少?

【推荐3】如图，数轴上点A，B所表示的数分别是4，8.

(1)请用尺规作图的方法确定原点O的位置(不写做法，保留作图痕迹)；
(2)已知动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．
①运动1秒后，点M表示的数是________，点N表示的数为________；
②运动t秒后，点M表示的数是________，点N表示的数为________；
③若线段，求此时t的大小以及相应的M所表示的数.

【推荐1】已知：数轴上A，B两点表示的有理数为a，b，且与互为相反数．
(1)A，B各表示哪一个有理数？
(2)点C在数轴上表示的数是c，且与A，B两点的距离和为11，求数c的值．
(3)小蚂蚁甲以1个单位长度/秒的速度从点B出发向其左边6个单位长度处的一颗饭粒爬去，3秒后位于点A的小蚂蚁乙收到它的信号，以2个单位长度/秒的速度也迅速爬向饭粒，小蚂蚁甲到达后背着饭粒立即返回，与小蚂蚁乙在数轴上D点相遇，则点D表示的有理数是什么？从出发到此时，小蚂蚁甲共用去多少时间？

【推荐2】先化简，再求值：其中．

【推荐3】如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最大值是　 　．

【推荐1】如图，在四边形中，对角线、相交于点O，，，，，动点P从点A出发沿着边向点B以的速度运动，同时动点Q从点B出发沿着边向点C以的速度运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设运动时间为．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)是否存在某一时刻，使得以B、P、Q为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】角与线段的计算

（1）如图，已知，为中点，为中点，求
（2）如图，已知，，若，求．

【推荐3】如图1，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒8°的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为（，单位：秒）

(1)当时，求的度数；
(2)在运动过程中，当第二次达到60°时，求的值；
(3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线与射线围成的角是90°（指大于0°而小于等于180°的角）？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．