【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P为抛物线上任意一点．连接，设点为线段的中点，通过求出相应的点，再把相应的点用平滑的曲线连接起来，可以得到一条新的抛物线记为．

(1)求抛物线与x轴的交点坐标．
(2)求抛物线的解析式．
(3)过点P作线段轴，点P在点Q的右侧，，设点P的横坐标为m．
①当线段与抛物线没有公共点时，直接写出m的取值范围．
②当线段与抛物线和一共有3个公共点时，直接写出m的取值范围．

【推荐1】如图，，在边上取一点，使，过点作，垂足为点，以，为邻边作．动点从点出发，以的速度在射线上运动，过点作，交于点，以，为邻边作．设点运动时间为．

(1)用含的代数式表示的长；
(2)当点落在边上时，求的值；
(3)当与重叠部分图形是轴对称图形时，求出的取值范围；
(4)若点从点开始运动的同时，点从点出发，沿方向做循环运动．已知点在，边上的运动速度是，在边上的运动速度是每秒．直接写出点落在内部时的取值范围．

【推荐1】综合与实践课上，老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
如图1，将矩形纸片折叠，使落在边上，点与点重合，折痕为，即可得到正方形，沿剪开，将正方形折叠使边，都落在正方形的对角线上，折痕为，，连接，如图2．根据以上操作，则____________．
(2)迁移探究
将图2中的绕点按顺时针旋转，使它的两边分别交边，于点，，连接，如图3．探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
连接正方形对角线，若图3中的的边，分别交对角线于点，，将正方形纸片沿对角线剪开，如图4，若，，请直接写出的长．

【推荐2】【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点、、距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点．
【问题解决】证明：如图②，把绕点逆时针旋转得到，连接，
，，
为等边三角形，
，

点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长．
当四点在同一直线上时，最小．
（1）观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系．
（2）【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若．求的最小值；
（3）【拓展应用】已知正方形内一动点到三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长．

【推荐3】如图，、、三点在线段上，且，将线段绕点按顺时针方向旋转度（），点的对应点为点．同时将线段绕点按逆时针方向旋转度（），点的对应点为点，连接和．
（1）若（如图1），和的交点为．
①求证：．
②求证：为等腰三角形．
（2）若，当时，______．