【推荐1】填写推理理由，将过程补充完整：
如图，， 试说明
解：，
          （                        ），
，
（等量代换），
，
，即，
          （等量代换），
（                        ）．

【推荐2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AC交AB于点E，求证：．

【推荐3】【感知】（1）如图①，ABCD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数．
小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程．

解：如图①，过点P作PMAB，
【探究】（2）如图②，ABCD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数；
【应用】（3）如图③，在以上【探究】条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．
（4）已知直线ab，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上（点C在点D的左侧），连接AD，BC，∠ABC的平分线与∠ADC的平分线所在的直线交于点E，设∠ABC＝α，∠ADC＝β（α≠β），请画出图形并求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．

【推荐1】如图，正方形中，点，分别在边，上，且，连接、相交于点．

(1)当时，__________；
(2)判断与的关系，并证明．

【推荐2】如图，在中，，D为的中点．
（1）写出点D到三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）．
（2）如果点M、N分别在线段上移动，在移动中保持，请判断的形状，并证明你的结论．

【推荐3】【问题背景】
（1）如图1，已知，平分，求证：；
【尝试应用】
（2）如图2，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的数量关系，并证明你的结论；
【拓展引申】
（3）如图，，与交于点，且点是的中点，点在线段上，且，若，，求的值．
   

【推荐1】在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA．

(1)如图（1）求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如图（2）若E是AB延长线上的一点，BE=AD，连接CE，则在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图（2）中面积等于△BCE面积的所有三角形（△BCE除外）．

【推荐2】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，点E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF．
（1）证明：∠BAC＝∠DAC；
（2）若AB//CD，试证明四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．

【推荐3】如图，在菱形中，点E，F是对角线上的两点，，连接，．
   
(1)求证：；
(2)若，，且是等边三角形，求的长．

【推荐1】(1)任意四边形四边中点围成的四边形是__________；
(2)对角线相等的四边形四边中点围成的四边形是__________；
(3)对角线垂直的四边形四边中点围成的四边形是__________；并证明．

【推荐2】如图，点在的对角线的延长线上，，于点，交的延长线于点，连接．

(1)求证: 四边形是菱形；
(2)若 求菱形的面积．

【推荐3】如图，在△ABD中，AB=AD，以AB为直径的⊙F交BD于点C，交AD于点E，CG⊥AD于点G，连接FE，FC．

(1)求证：GC是⊙F的切线；
(2)填空：
①若∠BAD=45°，AB=2，则△CDG的面积为     ．
②当∠GCD的度数为 时，四边形EFCD是菱形．