【推荐1】如图，在中，，是边上的中线，延长至点，作的角平分线，过点作于点．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．

【推荐2】如图在直角坐标系中，四边形ABCO为正方形，A点的坐标为（a，0），D点的坐标为（0，b），且a，b满足（a﹣3）²+|b﹣|＝0．
（1）求A点和D点的坐标；
（2）若∠DAE＝∠OAB，请猜想DE，OD和EB的数量关系，说明理由．
（3）若∠OAD＝30°，以AD为三角形的一边，坐标轴上是否存在点P，使得△PAD为等腰三角形，若存在，直接写出有多少个点P，并写出P点的坐标，选择一种情况证明．

【推荐1】如图，是的直径，是的弦，连接，点是的中点，连接交于点，点是延长线上一点，连接，且．

(1)求证：是的切线：
(2)若，，求的长．

【推荐2】如图，矩形中，为边上一点，将沿翻折，使点恰好落在对角线上，记作，
（1）求的长；
（2）联结，求的值．
   

【推荐3】某兴趣小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为，高为，连杆长度为，手臂的长度为，是转动点，且与始终在同一平面内.

(1)转动连杆，手臂，使，，如图2，求手臂端点离操作台的高度的长（精确到，参考数据：）.
(2)物品在操作台上，距离底座端的点处，转动连杆，手臂端点能否碰到点？请说明理由.

【推荐1】如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是，且与x轴的正半轴的夹角α的正切值是，求角α的正弦值．

【推荐2】如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，BG与⊙O相切于点B，交AC的延长线于点D（点D在线段BG上），AC = 8，tan∠BDC =
   
（1）求⊙O的直径；
（2）当DG=时，过G作，交BA的延长线于点E，说明EG与⊙O相切．

【推荐3】如图，是的切线，点在直径的延长线上．

(1)求证∶；
(2)若 ，，求的长．

【推荐2】2022年在北京举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB，BC两部分组成，AB，BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由点A滑到点C．若AB与水平面的夹角为20°，BC与水平面的夹角为45°，求他下降的高度．（，，，）

【推荐3】高空抛物极其危险，被称为“悬在城市上空的痛”，我们应该主动杜绝高空抛物的行为．某小区为了防止高空抛物，特安装一批摄像头．已知某一型号的摄像头安装完成后的示意图如图1，镜头 B到地面的距离为米，镜头的拍摄广角，为水平线，图2是安装完成后投入使用的示意图，当摄像头刚好能拍摄到大楼底部C时，测得 ，求此时摄像头能拍摄到的大楼上最高点A到地面的距离约为多少米？(结果精确到1米．参考数据：