探究题：
【新知学习】如果一条直线平分一个三角形的面积，同时又平分这个三角形的周长，我们称这条直线为三角形的“理想线”.三角形的“理想线”必经过三角形的内心．
【问题探究】
(1)如图①，在
中，
，
，请用尺规作图作出的“理想线”（只作出一条辅助线即可，保留作图痕迹，不写作法）．
(2)如图②所示，在
中，
，
，
．直线
为的“理想线”，点
在
上，点
在
上，试求
的长．
【实际运用】
(3)通过上面的学习，请你解决以下问题：如图③，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕，
，
，小明决定只切一刀就将这块蛋糕平分，要求既平分三角形的面积，又平分三角形蛋糕的周长．请你找出所有的“理想线”，并简要说明确定的方法．
【新知学习】如果一条直线平分一个三角形的面积，同时又平分这个三角形的周长，我们称这条直线为三角形的“理想线”.三角形的“理想线”必经过三角形的内心．
【问题探究】
(1)如图①，在
中，，，请用尺规作图作出的“理想线”（只作出一条辅助线即可，保留作图痕迹，不写作法）．(2)如图②所示，在
中，，，．直线为的“理想线”，点在上，点在上，试求的长．【实际运用】
(3)通过上面的学习，请你解决以下问题：如图③，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕，
，，小明决定只切一刀就将这块蛋糕平分，要求既平分三角形的面积，又平分三角形蛋糕的周长．请你找出所有的“理想线”，并简要说明确定的方法．
更新时间：2022-06-01 06:22:32
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(0.4)
【推荐1】定义：如图1，在
和
中，
，当
时，我们称与互为“顶补等腰三角形”，的边
上的高线叫做的“顶心距”，点
叫做“旋补中心”．
(1)特例感知：在图2，图3中，与
互为“顶补三角形”，，
是“顶心距”．
①如图2，当
时，与
之间的数量关系为= ；
②如图3，当
，时，的长为 ．
(2)猜想论证：在图1中，当
为任意角时，猜想与之间的数量关系，并给予证明．
(3)拓展应用：如图4，在四边形
中，
，
，
，
，
，在四边形的内部是否存在点
，使得
与
互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明，并求的“顶心距”的长；若不存在，请说明理由．
和中，，当时，我们称与互为“顶补等腰三角形”，的边上的高线叫做的“顶心距”，点叫做“旋补中心”． (1)特例感知：在图2，图3中，
与互为“顶补三角形”，，是“顶心距”．①如图2，当
时，与之间的数量关系为= ；②如图3，当
，时，的长为 ．(2)猜想论证：在图1中，当
为任意角时，猜想与之间的数量关系，并给予证明．(3)拓展应用：如图4，在四边形
中，，，，，，在四边形的内部是否存在点，使得与互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明，并求的“顶心距”的长；若不存在，请说明理由．
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(0.4)
【推荐2】等边△ABC中，点H在边BC上，点K在边AC上，且满足AK=HC，连接AH、BK交于点F,
(1)如图1，求∠AFB的度数；
(2)如图2，连接FC，若∠BFC=90°，点G为边 AC上一点，且满足∠GFC=30°，求证：AG⊥BG;
(1)如图1，求∠AFB的度数；
(2)如图2，连接FC，若∠BFC=90°，点G为边 AC上一点，且满足∠GFC=30°，求证：AG⊥BG;
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【推荐3】如图，抛物线
与
轴交于
两点，与
轴交于点
连接．点沿
以每秒
个单位长度的速度由点向点
运动，到达点后再以同样的速度沿轴正半轴运动，同时，点
沿
以每秒
个单位长度的速度由点
向点
运动，当点停止运动时，点也随之停止运动，连接
．过点作
轴，与抛物线交于点
连接
．设点的运动时间为
秒，已知点、点的坐标分别为
．
（1）求抛物线的解析式．
（2）①直接写出点的坐标（用含
的代数式表示，结果需化简）；
②当点在线段上运动，且满足
时，求的值．
（3）试探究：在点
运动的过程中，是否存在某一时刻，使得的中点落在坐标轴上？若存在，请直接写出此时的值与点的坐标；若不存在，请说明理由．
与轴交于两点，与轴交于点连接．点沿以每秒个单位长度的速度由点向点运动，到达点后再以同样的速度沿轴正半轴运动，同时，点沿以每秒个单位长度的速度由点向点运动，当点停止运动时，点也随之停止运动，连接．过点作轴，与抛物线交于点连接．设点的运动时间为秒，已知点、点的坐标分别为．（1）求抛物线的解析式．
（2）①直接写出点
的坐标（用含的代数式表示，结果需化简）；②当点
在线段上运动，且满足时，求的值．（3）试探究：在点
运动的过程中，是否存在某一时刻，使得的中点落在坐标轴上？若存在，请直接写出此时的值与点的坐标；若不存在，请说明理由．
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【推荐1】将图形特殊化是发现结论和探索方法的重要途径．
如图，在中，
是中线，
是边上一点，
，作的垂直平分线分别交
于点
，探究下列问题．
（1）当点与点重合时，
①在图中，画出此特殊情形的图；
②此情形下，点
与点 重合，此时
与满足的数量关系为 ．与点重合时，在图中，用尺规作出点的位置；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（3）当点
中，任意两点不重合时，如图，判断（1）问中与所满足的数量关系在此情形下是否仍然成立？说明理由．
如图，在
中，是中线，是边上一点，，作的垂直平分线分别交于点，探究下列问题． 
（1）当点
与点重合时，①在图中，画出此特殊情形的图；
②此情形下，点
与点 重合，此时与满足的数量关系为 ．
与点重合时，在图中，用尺规作出点的位置；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（3）当点
中，任意两点不重合时，如图，判断（1）问中与所满足的数量关系在此情形下是否仍然成立？说明理由．
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名校
【推荐2】已知：边长为
的正方形中，点在上，连接
，过点作的垂线，交于点，垂足为．点
在上，连接
，过作的垂线，交于点
，垂足为
，交于点
，
交
于点．
(1)如图1，求证：
；
(2)如图1，直接写出
与
的关系______；
(3)如图2，当经过点，且点是中点时，求
长．
的正方形中，点在上，连接，过点作的垂线，交于点，垂足为．点在上，连接，过作的垂线，交于点，垂足为，交于点，交于点． (1)如图1，求证：
；(2)如图1，直接写出
与的关系______；(3)如图2，当
经过点，且点是中点时，求长．
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与
、点
，连接
．抛物线的对称轴与
．点
上方抛物线上的一个动点（不与
交
的和最小时，点
面积的最大值及此时
与
相似，若存在请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
