【推荐1】如图，在中，，，．用直尺和圆规按下列步骤作图：
①以点B为圆心，适当的长为半径画弧，分别交边BC，AB于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；
③作射线BP，交边AC于点O；
④以点O为圆心，OC的长为半径画，交射线BP于点F，G（点G在线段OB上），连接CF，CG．

(1)求证：AB是的切线；
(2)求的半径长；
(3)求的值．

【推荐1】如图，是大半圆的直径，是小半圆的直径，点是大半圆上一点，与小半圆交于点，过点作于点.
（1）求证：是小半圆的切线；
（2）若，点在上运动（点不与两点重合），设，.
①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②当时，求两点之间的距离.

【推荐2】如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC的面积．

【推荐3】如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB=30°．点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．
(1)如图1，当DE与⊙O相切时，求∠CFB的度数；
(2)如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．

【推荐1】如图，在△ABC中，CA＝CB，以BC为直径的圆⊙O交AC于点G，交AB于点D，过点D作⊙O的切线，交CB的延长线于点E，交AC于点F.

(1)求证：DF⊥AC；
(2)如果⊙O的半径为5，AB＝12，求cosE.

【推荐3】如图，正方形中．对角线AC、BD交于点．点，点分别在线段，线段上，且，连接交于，连接交于，
（1）如图1，若点为线段中点，求的长；
   
（2）如图2，若平分，求证：；
   
（3）如图3，点在线段(含端点)上运动．连接，当线段长度取得最大值时，直接写出的值．
   

【推荐1】如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一个动点（不与点A，B重合），D是弦AC上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点C作半圆O的切线，交ED的延长线于点F．

（1）求证：FC＝FD．
（2）①当∠CAB的度数为　 　时，四边形OEFC是矩形；②若D是弦AC的中点，⊙O的半径为5，AC＝8，则FC的长为　 　．

【推荐2】定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做余等三角形．如图1，在△ABC和△DEF中，若∠A+∠E＝∠B+∠D＝90°，且AB＝DE，则△ABC和△DEF是余等三角形．

(1)图2，等腰直角△ABC，其中∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB上任意一点（不与点A，B重合），则图中△________和△________是余等三角形，并求证：AD²+BD²＝2CD²．
(2)图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为5，且AD²+BC²＝100，
①求证：△ABC和△ADC是余等三角形．
②图4，连接BD交AC于点I，连接OI，E为AI上一点，连接EO并延长交BI于点F，若∠ADB＝67.5°，IE＝IF，设OI＝x，S_△EIF＝y，求y关于x的函数关系式．