【推荐1】如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB=BC=6，过点B作BD⊥AC交AC于点D，点E、F分别是线段AB、BC上两点，且BE=BF，连接AF交BD于点Q，过点E作EH⊥AF交AF于点P，交AC于点H．

(1)若BF＝4，求△ADQ的面积；
(2)求证：CH＝2BQ；
(3)如图2，BE＝3，连接EF，将△EBF绕点B在平面内任意旋转，取EF的中点M，连接AM，CM，将线段AM绕点A逆时针旋转90°得线段AN，连接MN、CN，过点N作NR⊥AC交AC于点R，当线段NR的长最小时，直接写出△CMN的周长．

【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴负半轴交于点B，与x轴正半轴于点，交y轴于点C，连接，．

(1)求抛物线的解析式：
(2)如图2，点P为第三象限抛物线上一点，连接，，若设的面积为S，点P的横坐标为t，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，如图3，过点P作轴于点E，点K为抛物线的顶点，连接交于点F，点D为上一点，，连接，若，求点P的坐标．

【推荐2】如图，在中，，，，点P从点A出发，沿线段以每秒3个单位的速度向终点B运动．当点P不与点A、B重合时，过点P作交折线于点Q．过点P、Q分别平行于的直线相交于点R．设点P的运动时间为t秒，与重叠部分图形的面积为S．
   
(1)直接写出线段的长（用含t的代数式表示）．
(2)当点R落在边上时，求t的值．
(3)当与重叠部分的图形为轴对称图形时，求t的值．
(4)直接写出或平分面积时t的值．

【推荐3】综合与实践
问题解决：
（1）已知四边形是正方形，以为顶点作等腰直角三角形，，连接．如图，当点在上时，请判断和的关系，并说明理由．
问题探究：
（2）如图2，点是延长线与直线的交点，连接，将绕点旋转，当点在直线右侧时，求证：；
问题拓展：
（3）将绕点旋转一周，当时，若，，请求出线段的长．
   

【推荐1】已知：如图，在正方形中，是边上一个动点（点E不与点B，点C重合），连接，过点B作，垂足为点G，交于点F．

（1）求证：．
（2）过点E作交的角平分线于点H，连接，判断四边形的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，，求线段的长．

【推荐2】旋转与等腰直角三角形相结合，会产生很多美妙的数学结论，是训练几何探究思维很好的方式，麒麟中学八年级某数学兴趣小组做了以下操作探究，把共顶点的两个等腰直角三角形中的一个绕一点旋转一定角度，探究旋转过程中相关图形的几何特性：已知等腰直角三角形和等腰直角三角形有一个公共的顶点，且．

(1)如图1，与的数量关系为_____，位置关系为______；
(2)将 绕着点顺时针旋转角（）．
①如图2，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由．
②若，，当绕着点顺时针旋转过程中，当点、、三点共线时，连接，则的长度为_______；
③如图3，若，绕着点顺时针旋转，当点在落在上时，有，延长交的延长线于点，做点关于的对称点，连接，求的长．

【推荐3】已知：正方形ABCF中，E为BC中点，点D在CF上，AB=4，CD=1．
（1）判断△AED的形状，并证明；
（2）AC交DE于点N，M在AE上，且满足BM²﹣ME²=EN²﹣CN²，求证：BM⊥AC；
（3）若△APE是以AE为斜边的等腰直角三角形，直接写出BP的长．
   

【推荐1】在ABC中，AB＝7，∠A＝45°，sinB＝，P为线段AB上一动点，设AP＝x，过P作AB垂线交射线AC于点Q，将APQ绕PQ中点旋转180°得到DQP．

(1)点C到AB的距离为 　 　；
(2)求出点D在ABC内部时x的取值范围．
(3)当D点在ABC外部时，边PD与边BC交点为E，当图形中存在全等三角形时（除APQ与DQP全等外），求BE的长．
(4)点F为BC中点，作点B关于PD的对称点，连结，当与ABC的边平行时，直接写出x值．

【推荐2】【操作发现】如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．
   
①请按要求画图：将绕点A顺时针方向旋转，点B的对应点为点，点C的对应点为点，连接；
②在①中所画图形中，______．
【问题解决】如图2，在中，，延长到D，使，将斜边绕点A顺时针旋转到，连接，求的度数．
【拓展延伸】如图3，在四边形中，，垂足为E，，，，，求的长．