【推荐1】如图，AB为⊙O的直径，且AB=4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．
（1）求∠OMP的度数；
（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．

【推荐2】在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：

已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点A唯一吗？ （2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？

“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．

(1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为           ；
②△ABC面积的最大值为           ；
(2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明．
(3)请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长，，点P在直线CD的左侧，且则线段PB长的最小值为           ．

【推荐3】   如图，正方形的外接圆为，点在劣弧上（不与点重合）．

（1）求的度数；
（2）若的半径为，求正方形的边长．

【推荐1】如图，已知是的直径，为上一点，的角平分线交于点，在直线上，且，垂足为，连接、．

(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若，的长为2，求的半径和的长．

【推荐2】如图，在中，，是边上一点，以为圆心，为半径在边的右侧作半圆，交AB于点，交于P点．

(1)若，当取最小值时，求的长；
(2)已知：
①判断与半圆的位置关系，并说明理由；
②若，，求的长．

【推荐3】如图，内接于，平分交于D，过点D作分别交、延长线于P、Q，连接．
   
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若、的长是关于x的方程的两实根，且，求的半径．

【推荐1】已知矩形的顶点是线段上一动点，，矩形的对角线交于点，连接，．点为射线上一动点（与点不重合），连接，作交射线于点．
（1）如图1，当点与点重合时，且点在线段上．
①依题意补全图1；
②写出线段与的数量关系并证明．
（2）如图2，若，当点在的延长线上时，请补全图形并直接写出与的数量关系．

【推荐2】在平面直角坐标系xOy中，抛物线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B（0，3），顶点C位于第二象限，连结AB，AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是y轴正半轴上一点，且在B点上方，若∠DCB=∠CAB，请你猜想并证明CD与AC的位置关系；
（3）设与△AOB重合的△EFG从△AOB的位置出发，沿x轴负方向平移t个单位长度(0＜t≤3)时，△EFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

【推荐3】矩形ABCD中，动点E、F分别在边AB、AD上，FG⊥DE于H交直线BC于G．

（1） 如图1，求证：；
（2） 如图2，若AB＝6，AD＝9，点E为AB中点，当tan∠HEG＝1时，求AF的长；
（3） 如图3，若AB＝4，AD＝6，AB＝4BE，当tan∠HEG＝时，直接写出AF的长．

【推荐1】如图，已知⊙O半径为3，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF=∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为点F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长与圆交于点G，连接EG．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AD=DP，求的长度；
（3）若tanC，求线段EG的长．

【推荐3】在 中， 是斜边 的中点，将线段 绕点 旋转至 的位置，点 在直线 下方，连接 ，．

(1)如图 1，求 的大小．
(2)如图 2，当点 和直线 上的点 满足 时，连接 ，：
①求证：；
②若 ，求 的值．