【推荐3】如图，矩形中，，点分别是的中点．连结交对角线于点．当点从点匀速运动到点时，点恰好沿着的折线段从点匀速运动到点．记走的路程为，已知．

（1）求的长．
（2）取四边形中的两个顶点和两点，若以这四个点为顶点的四边形为平行四边形，求所有满足条件的的值．
（3）将沿着翻折，使得点恰好落在边上，记的面积为，的面积为，求的值．

【推荐3】如图1，在中，，，E为线段上不与点B、C重合一点，D为线段的中点，将线段绕点E顺时针旋转得线段与交于点H，连接的延长线与的反向延长线交于点G．

(1)求的度数；
(2)如图2，若点M为线段的中点，连接，求证：；
(3)如图3，点N为线段上一动点，连接，过点C作于J，过点H作于L，将沿所在直线折叠得，点P、T分别为线段边上的点，且满足，，连接交于点Q，若，，，请直接写出点Q到所在直线距离的最大值．

【推荐1】已知四边形是正方形，其边长为4，是直线上的一动点，连接．将绕点顺时针旋转，得到，是点的对应点，连接．
   
(1)如图，当点在的延长线上时，交于点，若，求的长；
(2)当为何值时，点恰好在的边上？
(3)在点的运动过程中，当直线与正方形的边所在直线的夹角（锐角）是时，求的度数．

【推荐2】【模型引入】
我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．


【模型探究】
如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交直线CB于点F．
（1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明；
（2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC，BE和BF的数量关系．
【模型应用】
（3）如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH⊥AE于F，过H作HG⊥BD于G．则下列结论：①AF＝FH；②∠HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周长为8．正确的结论有     个．
（4）如图4，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交线段BC于点F，交线段AC于点M，连接AF交线段BD于点H．给出下列四个结论，①AE＝EF；②DE＝CF；③S_△AEM＝S_△MCF；④BE＝DE+BF；正确的结论有      个．
【模型变式】
（5）如图5，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线与点N，求证：MD＝MN
（6）如图6，在上一问的条件下，连接DN交BC于点F，连接FM，则∠FMN和∠NMB之间有怎样的数量关系？请给出证明．
【拓展延伸】
（7）已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．如图7，在线段BO上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若∠OBA+∠OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．
（8）如图8，正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则△EDM的面积是　 　．

【推荐3】在平面直角坐标系中，以坐标原点O为顶点的正方形，其中点．对于线段，若线段与正方形有且仅有两个交点P，Q，且满足，则称线段是正方形的“倍长线”．

(1)如图，点，，，．在线段，，，中，为正方形的“倍长线”的是            ；
(2)记正方形的“倍长线”的中点为R．
①若线段的长度为4，且P，Q分别位于，上，求点R到原点的距离；
②若线段的长度为6，在图2中直接画出所有满足条件的点R所组成的图形；
(3)若正方形的“倍长线”，其中．
①则t的取值范围是            ；
②线段的长度l的取值范围是            ．