【推荐1】（1）如图①，在等腰直角三角形中，，作平分交于点，点为射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转90°得到线段，连接交射线于点，连接、．
填空：
① 线段、的数量关系为______．
② 线段、的位置关系为______．
推广：
（2）如图② ，在等腰三角形中，顶角，作平分交于点，点为外部射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转度得到线段，连接、、，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由．
应用：
（3）如图③ ，在等边三角形中，．作平分交于点，点为射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转得到线段，连接交射线于点，当时，请直接写出的长．

【推荐2】如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90 点P在线段BC上，延长BC至点Q，使得CQ=CP，连接AP，AQ．过点B作BD⊥AQ于点D，交AP于点E，交AC于点F．K是线段AD上的一个动点(与点A，D不重合)，过点K作GN⊥AP于点H，交AB于点G，交AC于点M，交FD的延长线于点N．
(1)依题意补全图1；
(2)求证：NM=NF；
(3)若AM=CP，用等式表示线段AE，GN与BN之间的数量关系，并证明．

【推荐3】如图，等腰直角△OAB的斜边OA在坐标轴上，顶点B的坐标为（﹣2，2）．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向点O运动，点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，当点P到达点O时，点P、点Q同时停止运动．连接BP，过P点作∠BPC＝45°，射线PC与y轴相交于点C，过点Q作平行于y轴的直线l，连接BC并延长与直线l相交于点D，设点P运动的时间为t（s）．
（1）点P的坐标为　 　（用t表示）；
（2）当t为何值，△PBE为等腰三角形？
（3）在点P运动过程中，判断的值是否发生变化？请说明理由．

【推荐1】如图，已知P是菱形ABCD中CD边上一点，AP交对角线BD于点E，将沿AP翻折得，FP交边BC于点G，．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．

【推荐3】如图1，矩形的顶点A、B分别在x轴与y轴上，且点，点，点P为矩形、两边上的一个点．

(1)当点P与C重合时，求直线的函数解析式；
(2)如图②，当P在边上，将矩形沿着折叠，点B对应点恰落在边上，求此时点P的坐标．
(3)是否存在P使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图1,在矩形的边上存在点,使得,我们称点为矩形的“和谐点
(1)求证: ;

(2)如图2,矩形的顶点的坐标为为坐标原点,点分别在轴和轴上,在边上是否存在“和谐点”，如果存在,求出点的坐标;如果不存在,请说明理由

(3)在(2)中,如果点的坐标为,且在上存在“和谐点”求的取值范围

【推荐2】已知点A、B、C均在半径为R的⊙O上．
问题探究
（1）如图①，当∠A＝45°，R＝1时，求∠BOC的度数和BC的长度；
（2）如图②，当∠A为锐角时，求证：BC＝2R·sinA；
问题解决
（3）若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN上滑动，且点B、C均与点A不重合．如图③，当∠MAN＝60°，BC＝2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试着探究线段BC在整个滑动过程中，P、A两点之间的距离是否为定值，若是，求出PA的长度；若不是，请说明理由．

【推荐3】如图，是⊙的直径，是弦，平分交⊙于，连交于，与交于点．
（1）若，求的度数；
（2）若⊙的半径为，且是的中点，求．

【推荐1】如图，，，绕着点C旋转．

   

(1)如图1，若，求证平分；
(2)如图2，在图1的位置上将绕着点逆时针旋转（旋转角小于），延长、交于点，则与的数量关系为        ；
(3)如图3，在图1的位置上将绕着点顺时针旋转（旋转角小于），连接、，若，求的度数．

【推荐2】如图所示，在四边形ABCD中，，，AC，BD为对角线，．求证：．

【推荐3】【问题情境】
如图①，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为线段AB、AC上的点，且DE∥BC．将△ADE绕点A旋转一定的角度后得到△AD′E′,如图②．
（1）求证：△ABD′≌△ACE′．


【深入研究】
如图③，,,．
（2）若点D′在线段BE′上，求△BCE′的面积．
（3）若点B、D′、E′不在同一直线上，且点在内，顺次连结C、B、D′、E′四点，则四边形CBD′E′的面积是否改变，若改变，请求出改变后的面积；若不变，请说明理由．
【拓展延伸】
（4）如图④，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D＝∠C≠90°．请用没有刻度的直尺和圆规画出满足下列条件的四边形A′B′CD．
条件1：利用一次旋转变换改变线段AB的位置，得到对应线段A′B′．
条件2：连结A′D、B′C，使得四边形A′B′CD的面积与四边形ABCD的面积相等．