【推荐1】如图，在中，点是边的中点，过点作直线使，交的延长线于点．试说明的理由．

解：因为（已知），
所以                (                )
因为点是边的中点，
所以                
在和中，

所以(                )
所以(                )

【推荐2】如图，在中，，分别平分，，过作直线平行于，交，于，，求证：

【推荐3】如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在AD上，且AE=DF．求证：△ABE≌△DCF．

【推荐1】在学习平行四边形后，小函进行了拓展性研究，她发现，平行四边形中，在边上截，连接，作的角平分线交于点E，则．她的解决思路是通过证明两条线段所在的四边形是平行四边形得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空；
（1）用直尺和圆规，在边上截，连接，作的角平分线，交于点E（只保留作图痕迹）．
（2）已知：如图，四边形是平行四边形，，平分，交于点E．求证：．

证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴___①___，
∵平分，
∴___②___，
∴，
∴，
∵，
∴___③___，
∴___④___，
∴，
∴四边形是平行四边形（___⑤___），
∴．

【推荐2】折叠如图所示的直角三角形纸片ABC，使点C落在AB上的点E处，折痕为AD（点D在BC边上），用直尺和圆规画出折痕AD．（保留作图痕迹，不写作法）．

【推荐3】如图，已知:在中， ，．
（1）按下列步骤用尺规作图（保留作图痕迹，不写出作法）：作的平分线AD，交BC于D；
（2）在（1）中，过点D作，交AB于点E，若CD=4，则BC的长为      ．

【推荐1】下面是小东设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．

   

已知：．

求作：边上的高．

作法：如图1，

①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点M，N；

②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P（不同于点A）；

③作直线交于点D． 所以线段就是所求作的的边上的高．

   

根据小东设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：连接．
∵       ，         ，
∴是线段的垂直平分线（         ）(填推理的依据) ，

∴于点D，

即线段为的边上的高．

【推荐2】如图1，两条交叉马路，中间区域建有A，B两个温室花房．现要在两条马路，之间的空场处建鲜花交易中心P，使得交易中心P到两条马路，的距离相等，且到两个温室花房A，B的距离也相等．如何确定交易中心P的位置?如图2，利用尺规作图求作点P（不写作法，保留作图痕迹）．

【推荐3】三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形（每个小正方形的边长为1）。在如图所示的正方形网格中．
   
(1)作出三边长分别为3，，的格点三角形．
(2)直接写出三角形的面积______________．
(3)用圆规和无刻度的直尺做出长为3的边的中点D（保留作图痕迹）．

【推荐1】如图，抛物线经过，两点，点是轴左侧且位于轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）将线段绕点顺时针旋转得线段（点是点的对应点），求点的坐标，并判断点D是否在抛物线上；
（3）过点作轴交直线于点，试探究是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出点的值；若不存在，说明理由．

【推荐2】综合实践课上，小明所在的小组要测量学校到公路的距离．如图，为东西走向的一条公路，是小明所在的学校，小明在点处测得学校在他的北偏东方向上，沿正东方向4千米后到达处，此时学校在他的北偏西方向上，求学校到公路的最短距离．（结果精确到0．1千米，参考数据：，，）

【推荐3】把两个相同的含角的直角三角尺按如图所示的方式放置．若，请你求出三角尺各边的长．