【推荐2】如图，双曲线y₁＝与直线y₂＝的图象交于A、B两点．已知点A的坐标为（4，1），点P（a，b）是双曲线y₁＝上的任意一点，且0＜a＜4．
（1）分别求出y₁、y₂的函数表达式；
（2）连接PA、PB，得到△PAB，若4a＝b，求三角形ABP的面积；
（3）当点P在双曲线y₁＝上运动时，设PB交x轴于点E，延长PA交x轴于点F，判断PE与PF的大小关系，并说明理由．
   

【推荐3】如图，中，，，为边上一动点（不与、重合），、的垂直平分线交于点，连接、、和，与相交于点，设．

(1)请用含的代数式表示的度数；
(2)求证：；
(3)若，求的值．

【推荐1】如图，AC为⊙O的直径，CF切⊙O于点C，AF交⊙O于点D，点B在DF上，BC交⊙O于点E，且∠CAF=2∠BCF，BG⊥CF于点G，连接AE．

(1)求∠AEB的度数；
(2)求证：△CBG∽△ABE；
(3)若∠F=60°，GF=2，求⊙O的半径长．

【推荐2】小东在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小东继续利用上述结论进行探究．
【提出问题】
如图1，在线段同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：

如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合）， 连接，则， 又∵， ∴___________， ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∵点B，D在点A，C，E所确定的上， ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上．

【反思归纳】
（1）上述探究过程中的横线上填的内容是________；
【拓展延伸】
（2）如图3，在中，，将绕点A逆时针旋转得，连接交于点D，连接．小东发现，在旋转过程中，永远等于，不会发生改变．
①根据，利用四点共圆的思想，试证明；
②当为直角三角形，且时，直接写出的长．

【推荐3】新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦．
   
(1)如图1，，是⊙的等垂弦，，，垂足分别为，．求证：四边形是正方形；
(2)如图2，弦与弦交于点，，．
①求证：，是⊙的等垂弦；
②连接，若，，求的长度．

【推荐1】如图1，矩形的一边落在矩形的一边上，并且矩形矩形，其相似比为，矩形的边，．

(1)矩形的面积是            ；
(2)将图1中的矩形绕点逆时针旋转90°，若旋转过程中与夹角（图2中的）的正切的值为，两个矩形重叠部分的面积为，求与的函数关系式；
(3)将图1中的矩形绕点逆时针旋转一周，连接、，的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】在平面直角坐标系中，O为原点，点，点绕点B顺时针旋转，得，点旋转后的对应点为，记旋转角为．
   
(1)如图①，，边上的一点M旋转后的对应点为N，当时，点N的坐标为_____；
(2)在（1）的条件下，当取得最小值时，在图②中画出点M的位置，并求出点N的坐标；
(3)如图③，P为上一点，且，连接，在绕点B顺时针旋转一周的过程中，的面积是否存在最大值和最小值，若存在，请求出；若不存在，请说明理由．