如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），以线段OA为一边在x轴上方作等边△OAB．C是x轴上一点，连接BC，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，连接AD，CD．
(1)当点C在线段OA的延长线上时．
①求证：
；
②若AD＝2AC，求线段CD的的长；
(2)若点E的坐标为
，连接ED，试问线段ED的长是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．
(1)当点C在线段OA的延长线上时．
①求证：
；②若AD＝2AC，求线段CD的的长；
(2)若点E的坐标为
，连接ED，试问线段ED的长是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．
更新时间：2022-08-22 21:10:12
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】如图1，在
中，
，
，
，
分别为
，
边上一点，连接
，且
，将绕点
在平面内旋转．
(1)观察猜想
若
，将绕点旋转到如图2所示的位置，则
的值为______．
(2)类比探究
若
，将绕点旋转到如图3所示的位置，求的值．
(3)拓展应用
若，为的中点，
，当
中，请求出
的值．
中，，，，分别为，边上一点，连接，且，将绕点在平面内旋转．(1)观察猜想
若
，将绕点旋转到如图2所示的位置，则的值为______．(2)类比探究
若
，将绕点旋转到如图3所示的位置，求的值．(3)拓展应用
若
，为的中点，，当中，请求出的值．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】综合与实践
特例感知：
如图1，在等边三角形
中，是延长线上一点，且
，以
为边作等边三角形
，连接
，交
于点
，过点作
，过点作
，交于点
，连接
．与之间的数量关系，并说明理由．
猜想论证：
(2)如图2，将
绕点
按顺时针方向旋转一定角度，其余操作不变，则（1）中与之间的数量关系是否仍然成立，请说明理由．
拓展延伸：
(3)将如图1所示的绕点按逆时针方向旋转
，其余操作不变．若
，当
时，请直接写出
的长．
特例感知：
如图1，在等边三角形
中，是延长线上一点，且，以为边作等边三角形，连接，交于点，过点作，过点作，交于点，连接．
与之间的数量关系，并说明理由．猜想论证：
(2)如图2，将
绕点按顺时针方向旋转一定角度，其余操作不变，则（1）中与之间的数量关系是否仍然成立，请说明理由．拓展延伸：
(3)将如图1所示的
绕点按逆时针方向旋转，其余操作不变．若，当时，请直接写出的长．
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，若
，则
都是等边三角形，连接
，求证：
；
，现要将这块草地扩展成四边形
的形状，用来种植不同的花卉，连接
，根据规划要求，需要满足
，点
上，
．为了防止有人踩踏花卉，沿四边形
解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】如图，和
都是等边三角形，点关于
的对称点在
边上．
①求证：
；
②用等式写出线段，，
的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，是直角三角形，，
，垂足为，点关于的对称点在边上．求证：
．
(3)在（2）的条件下，若
，
，直接写出
的值为________．
和都是等边三角形，点关于的对称点在边上．①求证：
；②用等式写出线段
，，的数量关系，并说明理由；(2)如图2，
是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．求证：．(3)在（2）的条件下，若
，，直接写出的值为________．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】在平面直角坐标系中，直线
分别与x轴和y轴交于A、B两点．
（1）如图1，点C是线段AB上的一动点，连结OC，若将线段OC绕点O顺时针旋转90°得到线段OD，求当点C从点B运动到A的过程中，线段OD扫过的面积；
（2）如图2，以点B为圆心2为半径作
，设点C为上的一动点，连结OC，若将线段OC绕点O顺时针旋转90°得到线段OD，连结BD，求BD长的最大值和最小值，并写出相应点D的坐标；
（3）如图3，线段
，点C是以点F为圆心1为半径的
上的一个动点，连结EC，以EC为边在EF的上方作等边三角形，求
面积的最大值．
分别与x轴和y轴交于A、B两点．（1）如图1，点C是线段AB上的一动点，连结OC，若将线段OC绕点O顺时针旋转90°得到线段OD，求当点C从点B运动到A的过程中，线段OD扫过的面积；
（2）如图2，以点B为圆心2为半径作
，设点C为上的一动点，连结OC，若将线段OC绕点O顺时针旋转90°得到线段OD，连结BD，求BD长的最大值和最小值，并写出相应点D的坐标；（3）如图3，线段
，点C是以点F为圆心1为半径的上的一个动点，连结EC，以EC为边在EF的上方作等边三角形，求面积的最大值．
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(0.4)
【推荐3】问题背景
定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是
，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形
中，是一条对角线，
，且
，则与
是关于的互补三角形．中，
，D、E为外两点，
，为等边三角形．则关于的互补三角形是______，并说明理由．
(2)实践应用：如图3，在长方形中，
．点E在边上，点F在边上，若
与
是关于
互补三角形，试求
的长．
(3)思维探究：如图4，在长方形中，．点E是线段上的动点，点P是平面内一点，
与
是关于
的互补三角形，直线
与直线交于点F．在点E运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由．
定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是
，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形中，是一条对角线，，且，则与是关于的互补三角形．
中，，D、E为外两点，，为等边三角形．则关于的互补三角形是______，并说明理由．(2)实践应用：如图3，在长方形
中，．点E在边上，点F在边上，若与是关于互补三角形，试求的长．(3)思维探究：如图4，在长方形
中，．点E是线段上的动点，点P是平面内一点，与是关于的互补三角形，直线与直线交于点F．在点E运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由．
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(0.4)
【推荐1】在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴交于
两点，与
轴交于点．
(1)求抛物线
对应的函数表达式；
(2)如图1，点为直线下方抛物线上的一动点，
于点
轴交于点
．求线段
的最大值和此时点的坐标；
(3)如图2，将抛物线
沿着轴向左平移后得到抛物线
，若点
是抛物线与在轴下方的交点且
，求抛物线对应的函数表达式．
与轴交于两点，与轴交于点．(1)求抛物线
对应的函数表达式；(2)如图1，点
为直线下方抛物线上的一动点，于点轴交于点．求线段的最大值和此时点的坐标；(3)如图2，将抛物线
沿着轴向左平移后得到抛物线，若点是抛物线与在轴下方的交点且，求抛物线对应的函数表达式．
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较难
(0.4)
【推荐2】综合与探究
如图，抛物线
与轴交于
、
两点，与轴交于点.
（1）求抛物线解析式：
（2）抛物线对称轴上存在一点
，连接
、
，当
值最大时，求点H坐标：
（3）若抛物线上存在一点
，
，当
时，求点坐标：
（4）若点M是
平分线上的一点，点是平面内一点，若以
、、
、为顶点的四边形是矩形，请直接写出点坐标.
如图，抛物线
与轴交于、两点，与轴交于点.（1）求抛物线解析式：
（2）抛物线对称轴上存在一点
，连接、，当值最大时，求点H坐标：（3）若抛物线上存在一点
，，当时，求点坐标：（4）若点M是
平分线上的一点，点是平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是矩形，请直接写出点坐标.
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【推荐1】对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作
．已知点
，
，连接AB．
(1)d（点O，AB）＝ ；
(2)⊙O半径为r，若
，直接写出r的取值范围；
(3)⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转
，得到点
．
①当
时
，求出此时r的值；
②对于取定的r值，若存在两个α使，直接写出r的范围．
．已知点，，连接AB．(1)d（点O，AB）＝ ；
(2)⊙O半径为r，若
，直接写出r的取值范围；(3)⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转
，得到点．①当
时，求出此时r的值；②对于取定的r值，若存在两个α使
，直接写出r的范围．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就． 婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德． 婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位． 例如下列模型就被称为“婆罗摩笈多模型”：如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论：
①图1中S△ABC＝S△ADE；
②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；
③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N．
（1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；
（2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF＝CE．
①图1中S△ABC＝S△ADE；
②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；
③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N．
（1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；
（2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF＝CE．
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上，E为
得到线段
，连接
，则线段
得到线段
