【推荐1】证明：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，、分别是的边、中点，求证：，．
下面是某学习小组探究证明思路时发现的三种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．
方法：延长至点，使，连接；
方法：过点作交的延长线于；
方法：过作交于，过A作交的延长线于点．
应用：如图，、分别是的边、中点，请用无刻度的直尺和圆规作的角平分线（要求：直尺和圆规分别只使用一次，并保留作图痕迹）．

【推荐2】如图，在矩形中，与相交于点O．

(1)求作的平分线，分别交、于点E、F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹．不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，求证：．

【推荐3】如图，在平行四边形中，已知．

(1)实践与操作：作的平分线交于点，在上截取，连接．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：四边形是菱形．（在下列横线上补全推理过程或推理依据）
证明：四边形是平行四边形，
∴，
∴      ①      ，（      ②      ）
∵平分，

∴      ③      
      ④      
由（1）得：，

又∵      ⑤      
∴四边形是平行四边形，（      ⑥      ）
∵      ⑦      
∴四边形是菱形．（      ⑧      ）

【推荐2】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5 ，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

（1）AC的长是________，AB的长是________．
（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．
（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（4）当t为何值，△BEF的面积是2 ？

【推荐3】已知：如图，□ABCD中，点O是CD边的中点，过点O的直线分别交线段BC于点E，交线段AD的延长线于点F，连接CF，DE．
（1）求证：四边形DECF是平行四边形；
（2）若AB＝DF＝4，∠A＝45°，△DCF的面积为             （直接回答即可）．
   

【推荐1】折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．

   

【猜想】．
【验证】请将下列证明过程补充完整：
矩形纸片沿所在的直线折叠，
　　，
四边形是矩形，
∴，
　　，
　　　　，
，
∴______=______，
∴．
【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为．
（1）猜想与的数量关系，并说明理由；
（2）若，，求的长．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O于坐标原点重合，顶点A、C在坐标轴上，，将矩形沿折叠，使点A与点C重合．

   

(1)求点E的坐标；
(2)点P从O出发，沿折线方向以每秒2个单位的速度运动，到达终点E时停止运动，设点P的运动时间为t，的面积为S，求S与t的函数关系式．
(3)在（2）的条件下，当P在线段上，且时，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使得以点P、E、G、Q为顶点的四边形为平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点Q的坐标．

【推荐3】如图，点为坐标原点，四边形为矩形，边、分别在轴、轴上，，，，，且、满足．

(1)求，两点的坐标；
(2)把沿翻折，点落在处，线段与轴交于点，求的长；
(3)在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐1】已知在等腰三角形中，，取中点Q，过Q作，且E，F关于成轴对称，连接，，，，分别交，于点G，H．
   
(1)求证：四边形为菱形．
(2)记的面积为，菱形的面积为，且，当时，求的长．

【推荐2】如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CM∥OD，过点D作DE⊥CM，E为垂足．
（1）求证：四边形OCED是矩形．
（2）若AB＝17，BD＝30，则四边形ADEC的面积为　 　平方单位．

【推荐3】如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求和的长．