用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形,中间也是一个正方形,它是美丽的弦图,其中四个直角三角形的直角边长分别为a, b (a<b),斜边长为c .
(1)结合图①,求证:;
(2)如图②,将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起,得到图形ABCDEFGH.若该图形的周长为48,OH=6.求该图形的面积;
(3)如图③,将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN,记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为、、,++=24,= .
(1)结合图①,求证:;
(2)如图②,将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起,得到图形ABCDEFGH.若该图形的周长为48,OH=6.求该图形的面积;
(3)如图③,将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN,记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为、、,++=24,= .
更新时间:2022-09-04 23:47:39
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【推荐1】已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线l是经过点A的一条直线,CD⊥l于点D,BE⊥l于点E.
(1)说明:△ABE≌△CAD;
(2)已知:BE=,DE=,求CD;
(3)若BE=a,AE=b,AB=c,利用此图证明勾股定理.
(1)说明:△ABE≌△CAD;
(2)已知:BE=,DE=,求CD;
(3)若BE=a,AE=b,AB=c,利用此图证明勾股定理.
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【推荐2】拼图填空:剪裁出若干个大小.形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a.b.c,如图①.
(1)拼图一:分别用4张直角三角形纸片,拼成如图②③的形状,观察图②③可发现,图②中两个小正方形的面积之和 (填“大于”.“小于”或“等于”)图③中小正方形的面积,用关系式表示为 .
(2)拼图二:用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状,观察图形可以发现,图中共有 个正方形,它们的面积之间的关系是 ,用关系式表示为 .
(3)拼图三:用8个直角三角形纸片拼成如图⑤的形状,图中3个正方形的面积之间的关系是 ,用关系式表示 .
(1)拼图一:分别用4张直角三角形纸片,拼成如图②③的形状,观察图②③可发现,图②中两个小正方形的面积之和 (填“大于”.“小于”或“等于”)图③中小正方形的面积,用关系式表示为 .
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【推荐3】阅读材料,回答问题:
(1)中国古代数学著作《周髀算经》(如图)有着这样的记载:“勾广三,股修四,经隅五.”这句话的意思是:“如果直角三角形两直角边长分别为和,那么斜边的长为.” 上述记载表明了:在中,如果,,,,那么,,,三者之间的数量关系是_____.
(2)对于这个数量关系,我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”(如图,它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形),利用面积法进行了证明.参考赵爽的思路,将下面的证明过程补充完整:
证明:,,_____,且_____=_____,
,
整理得 ,
_____.
(3)如图,把矩形折叠,使点与点重合,折痕为,如果,,求 的长.
(1)中国古代数学著作《周髀算经》(如图)有着这样的记载:“勾广三,股修四,经隅五.”这句话的意思是:“如果直角三角形两直角边长分别为和,那么斜边的长为.” 上述记载表明了:在中,如果,,,,那么,,,三者之间的数量关系是_____.
(2)对于这个数量关系,我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”(如图,它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形),利用面积法进行了证明.参考赵爽的思路,将下面的证明过程补充完整:
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【推荐1】【探索新知】著名的赵爽弦图(如图①,其中四个直角三角形较大的直角边长都为,较小的直角边长都为,斜边长都为),大正方形的面积可以表示为,也可以表示为,由此推导出重要的勾股定理:如果直角三角形两条直角边长为,斜边长为,则.(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”,下面是利用图②推导勾股定理的过程,完成填空;
解:梯形的面积可表示为:______,
也可以表示为:______,
,
,
______
即;
(2)【应用新知】如图③,在一条东西走向河流的一侧有一村庄,河边原有两个取水点,,由于某种原因,由到的路现在已经不通,该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点(、在同一条直线上),并新修一条路,且.测得千米,千米,求新路比原路少多少千米?
(3)【迁移应用】小明继续思考研究,发现了三角形已知三边的长,可求高的一种方法.他是这样思考的,在第(2)问中若时,,,,,设,可以求的值,请帮小明写出求详细完整的过程.
解:梯形的面积可表示为:______,
也可以表示为:______,
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(2)【应用新知】如图③,在一条东西走向河流的一侧有一村庄,河边原有两个取水点,,由于某种原因,由到的路现在已经不通,该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点(、在同一条直线上),并新修一条路,且.测得千米,千米,求新路比原路少多少千米?
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【推荐2】阅读理解:我国是最早了解勾股定理的国家之一,它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中,汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅如图1所示的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”(边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形,两直角边长分别为a,b,斜边长为c).
(1)请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程;
探索研究:
(2)小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换,得到图2,请利用图2证明勾股定理;
问题解决:
(3)如图2,若,,此时空白部分的面积为__________;
(4)如图3,将这四个直角三角形紧密地拼接,形成风车状,已知外围轮廓(实线)的周长为24,,求该风车状图案的面积.
(1)请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程;
探索研究:
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【推荐3】如图①,美丽的弦图,蕴含着四个全等的直角三角形.
(1)弦图中包含了一大,一小两个正方形,已知每个直角三角形较长的直角边为a.较短的直角边为b,斜边长为c,结合图①,试验证勾股定理;
(2)如图②,将这四个直角三角形紧密地拼接,形成飞镖状,已知外围轮廓(粗线)的周长为24,OC=3,求该飞镖状图案的面积;
(3)如图③,将八个全等的直角三角形紧密地拼接,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3,若S1+S2+S3=16,则S2= .
(1)弦图中包含了一大,一小两个正方形,已知每个直角三角形较长的直角边为a.较短的直角边为b,斜边长为c,结合图①,试验证勾股定理;
(2)如图②,将这四个直角三角形紧密地拼接,形成飞镖状,已知外围轮廓(粗线)的周长为24,OC=3,求该飞镖状图案的面积;
(3)如图③,将八个全等的直角三角形紧密地拼接,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3,若S1+S2+S3=16,则S2= .
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