【推荐1】已知中，．

（1）如图，在中，若，且，求证：；
（2）如图，在和中，若，且CD垂直平分AE，，，求BD的长．

【推荐3】如图，在菱形中，，，动点P从点B出发，以1单位长度/秒的速度沿折线运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设的面积为y，运动时间为x秒．

(1)当点P运动到的中点，求此时x的值和的面积；
(2)①当时，求y与x之间的函数关系式；
②当时，求y与x之间的函数关系式；
(3)求在运动过程中面积的最大值．（直接写出结果即可）

【推荐1】如图，射线上有一点，，点是射线上异于的一点，过作，且，过点作，交射线于，在射线取点，使得，连接并延长，交直线于点，设．
   
(1)当在点右侧时，求的长．（用关于的代数式表示）
(2)当为何值时，是等腰三角形；
(3)作点关于的对称点，连接，，若四边形是平行四边形，求的值．（直接写出答案）

【推荐2】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B．直线与直线AB相交于点M，交x轴于点C，交y轴于点D．

(1)求出点M的坐标；
(2)若点P是射线MD的一个动点，设点P的横坐标是x，的面积是S，求S与x之间的函数关系式；
(3)平面直角坐标系内是否存在点P，使以点A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线及其外一点．
求作：的平行线，使它经过点．
小云的作法如下：
（1）在直线上任取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交直线与点．
（2）分别以，为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点．
（3）作直线．
所以直线即为所求．
老师说：“小云的作法正确”
请回答：小云的作图依据是：
（1）__________．
（2）__________．（用本学期知识回答）

【推荐1】如图，点O是等边△ABC内一点，，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转得△ADC，连接OD．

(1)填空：线段OD与OC的数量关系为___；
(2)当时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)直接写出当为多少度时，△AOD为等腰三角形．

【推荐2】在平面直角坐标系中， O为原点，点，，把绕点顺时针旋转，得，点旋转后的对应点为，记旋转角为．

   

(1)如图①，当时，求的长；
(2)如图②，当时，求点的坐标；
(3)K为线段上一点，且，S为的面积，求的取值范围（直接写出结果即可）．

【推荐3】如图，△ABC 中，∠C＝90°，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°，得到△DEC（其中点 D、E 分别是 A、B 两点旋转后的对应点）．
(1)请画出旋转后的△DEC；
(2)试判断 DE 与 AB 的位置关系，并证明你的结论．

【推荐1】综合与实践，已知：如图1和图2，四边形ABCD中，，，点E、F分别在BC、CD上，．

问题探究：
（1）如图1，若、都是直角，把绕点A逆时针旋转90°至，使AB与AD重合，则______度，线段BE、DF和EF之间的数量关系为______；
问题再探：
（2）如图2，若、都不是直角，但满足，线段BE、DF和EF之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
拓展应用：
（3）如图3，在中，，．点D、E均在边BC边上，且，若，则DE的长为______．

【推荐2】【动手操作】某班数学课外兴趣小组将直角三角板（，）的直角顶点O放置在另一块直角三角板（，）的斜边的中点处，并将三角板绕点O任意旋转．
   
(1)【发现结论】当三角板的两边分别与另一块三角板的边，交于点时：
①如图1，当时，与的数量关系为______；
②小组成员发现当与不垂直时（如图2所示），与之间仍然存在①中数量关系，请你说明理由；
③小组成员嘉淇认为在旋转过程中，四边形的面积与的面积之间始终保持一种不变的关系，他们之间的关系是______，并说明理由；
(2)【探究延伸】如图3，连接，直角三角板在绕点O旋转一周的过程中，若，，直接写出线段长的最小值和最大值．

【推荐3】【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边，分别交于点，．设等边的面积为，通过证明可得，则．

(1)【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边，分别交于点，．若正方形的面积为，请用含的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）．
(2)【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边，分别交于点，．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积
(3)【猜想结论】如图4，为正边形……的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正边形的边，分别交于点，．若四边形面积为，请用含、的式子表示正边形……的面积．