【推荐1】如图1，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且顶点位于原点，顶点、分别位于轴、轴上．若满足．

(1)求点的坐标；
(2)取的中点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交轴于点．求证：点为的中点；
(3)如图2，在（2）的条件下，点位于线段上，且．点为平面内一动点，且满足，连接．请你直接写出线段长度的最大值__________．

【推荐2】已知a、b满足，求的值．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，已知、、，其中a，b，c满足关系．如果在平面内有一点．

（1）________；________；________；
（2）是否存在m，使得以A，O，B，P四点构成的四边形的面积与的面积相等．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接，请探究之间的数量关系．

【推荐2】已知，点E是平面内一点，的角平分线与的角平分线交于点F．

(1)若点E的位置如图1所示．
①若，则　 　°；
②探究与的数量关系，并说明理由；
(2)若点E的位置如图2所示，与满足的数量关系式是 　 　．
(3)若点E的位置如图3所示，为锐角，且，设，则的取值范围为　 　．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，点，，且满足．

(1)则点的坐标为______，点的坐标为______．
(2)已知坐标轴上有两动点，同时出发，点从点出发沿轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速运动，点从点出发以2个单位长度每秒的速度沿轴正方向匀速运动．点到达点时整个运动随之结束，的中点的坐标，设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
(3)如图，点是线段上一点，且满足，点是第二象限中一点，连，使得，点是线段上一动点，连交于点，当点在线段上运动时，的值始终保持不变，请直接写出这个定值______．

【推荐1】如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作圆交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，在边上是否存在一点使有最小值，如果存在，请求出的最小值．

【推荐2】已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F．

1．求证：BD平分∠ABC；
2．延长AC到点P，使PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；
3．如果AB=10，cos∠ABC=，求AD．

【推荐3】如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得，．在进行如下操作时遇到了下列几个问题，请你帮助解决．

(1)如图2，将的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在边上，此时EF恰好经过点A，请证明：；
(2)如图3，在（1）的条件下，小明先将的边和矩形的边重合，然后将△EFG沿直线向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式．
(3)如图，在（1）的条件下，小明把该图形放在直角坐标系中，使B（G）为坐标原点为x轴，在x轴和y上分别找P，Q两点使与相似，直接写出P点的坐标．