【推荐2】在矩形中，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒：
   
(1)如图1，几秒后，的面积等于？
(2)在运动过程中，若以P为圆心的同时与直线相切（如图2），求t值；
(3)若以Q为圆心，为半径作．
①在运动过程中，是否存在t值，使得点D落在上？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
②若与四边形有三个公共点，则t的取值范围为　　．（直接写出结果，不需说理）

【推荐3】如图1，菱形的边在平面直角坐标系中的轴上，，菱形对角线交于点，过点的反比例函数与菱形的边交于点．

   

(1)求点的坐标和反比例函数的表达式；
(2)如图2，连接，求出的面积；
(3)点为图像上的一动点，过点做轴于点，若点使得和相似，请直接写出点的横坐标．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，点为原点，直线分别交轴，轴于点，，点在轴的负半轴上，且，作直线．

(1)求直线的解析式；
(2)点在线段上，过点作轴交于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；
(3)在（2）的条件下，在直线的右侧以线段为斜边作等腰直角，连接，，点在线段上，且点在直线的右侧，若，且，求点的坐标．

【推荐2】【阅读材料】如图1所示，对于平面内，在上有弦，取弦的中点，我们把弦的中点到某点或某直线的距离叫做弦到这点或者这条直线的“密距”．例如：图1中线段的长度即为弦到原点的“密距”．过点作轴的垂线交轴于点，线段的长度即为弦到轴的“密距”．
【类比应用】已知的圆心为，半径为4，弦的长度为4，弦的中点为．

(1)当轴时，如图2所示，圆心到弦的中点的距离是______，此时弦到原点的“密距”是______．
(2)①如果弦在上运动，在运动过程中，圆心到弦的中点的距离变化吗？若不变化，请求出的长，若变化，请说明理由．
②直接写出弦到原点的“密距”d的取值范围______；
(3)【拓展应用】如图3所示，已知的圆心为，半径为4，点，点为上的一动点，弦到直线的“密距”的最大值是______（直接写出答案）．

【推荐2】如图，在中，，，．动点从点出发沿线段方向以每秒的速度向终点运动，过点作交射线于点，以和为邻边作，过点作，交射线于点，过点作，交射线于点．设点的运动时间为．

(1)直接写出的长度；（用含的代数式表示）
(2)当点落在上时，求的值；
(3)求与矩形重合图形部分的面积与时间之间的函数解析式．

【推荐3】如图，在直角梯形中，，，，，点从点出发，沿以每秒个单位的速度向终点运动，点从点出发，沿折线运动，在线段上以每秒个单位长度的速度运动，在线段上以为每秒个单位的速度运动，设运动时间为（）．
   
(1)_________．
(2)当四边形是平行四边形时，求的值
(3)连接、、，当是直角三角形时，求的值．
(4)作点、关于直线的对称点，，连接，，直接写出与平行或垂直时的值．

【推荐1】【教材呈现】北师大版九年级上册数学教材12页给出直角三角形的斜边中线定理．
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
上述定理的部分推理过程如下：
已知：如图1，在中，，CD为斜边AB上的中线．
求证：
证明：如图2，延长CD至点E，使，连接AE，BE．

(1)【定理探索】
请结合图2将证明过程补完整；
(2)【问题解决】
如图3，在中，AD是高，CE是中线，点F是CE的中点，，点F为垂足，若，则______度；
(3)【应用探究】
如图4，和均为直角三角形，，，连接CD交AB于点E，已知，，请直接写出CD的长．

【推荐2】如图，在中，，，点在直线上运动，连接，以为斜边在直线的右侧作，其中，．
(1)如图1，点运动到点的左侧时，与相交于点，当平分时，若，求的长；

   
(2)如图2，点沿射线方向运动过程中，当时，连接，过点作交的延长线于点，取的中点，连接．求证：；
   
(3)如图3，点沿射线方向运动过程中，连接，将线段绕点顺时针方向旋转，得到线段，连接、．若，当取得最小值时，请直接写出的面积．
   

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的顶点为．直线过点（），且平行于轴，与抛物线交于、两点（在的右侧），将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．
   
(1)当时，求点的坐标；
(2)连接、、，若，求此时所对应的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，若的面积为3，、两点分别在边、上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由．