（1）如图 1，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC=90°，求满足条件的点 P 到点 A 的距离．
（2）如图 2，有一座古井 O，按规定，要以井 O 为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区 ABCD．根据实际情况，要求顶点 A 是定点，点 A 到井 O 的距离为
米，∠BAD=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区 ABCD？若可以，求出满足要求的平行四边形 ABCD 的最大面积；若不可以，请说明理由．（井 O 的占地面积忽略不计）
（3）为了保护古井 O（井 O 的占地面积忽略不计），拟以古井 O 为中心划定边长为 30 米的正方形景区，在该正方形区域内选择若干个安装点，安装一种电讯信号转发装置，其发射直径为 31 米．现要求：在该正方形区域每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个景区．问：
①能否找到这样的 4 个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？
②至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？
答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为 30 米的正方形区域示意图，供解题时选用）
（2）如图 2，有一座古井 O，按规定，要以井 O 为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区 ABCD．根据实际情况，要求顶点 A 是定点，点 A 到井 O 的距离为
米，∠BAD=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区 ABCD？若可以，求出满足要求的平行四边形 ABCD 的最大面积；若不可以，请说明理由．（井 O 的占地面积忽略不计）（3）为了保护古井 O（井 O 的占地面积忽略不计），拟以古井 O 为中心划定边长为 30 米的正方形景区，在该正方形区域内选择若干个安装点，安装一种电讯信号转发装置，其发射直径为 31 米．现要求：在该正方形区域每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个景区．问：
①能否找到这样的 4 个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？
②至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？
答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为 30 米的正方形区域示意图，供解题时选用）
更新时间：2022-09-26 20:09:30
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
解题方法
【推荐1】问题提出：
（1）如图1，在矩形
内，以
的中点F为圆心，为直径作半圆．P为半圆上一点，若
，
，试求
的面积的最小值．
问题探究：
（2）如图2，在菱形中，
，
，P是菱形内或边上的一点，且
，连接
，求
面积的最小值．
问题解决：
（3）如图3，在市区有一块矩形形状的闲置空地要进行规划，其中
米，
米，E是
边上一点，且
米，F是边上的任意一点，把
改造成一个供市民休息的区域，
是关于
的轴对称图形，在区域放置“保护野生动物，拒绝食用野生动物”的宣传与警示栏．同时修建
四条观光道，在四边形空地
种植草坪，剩余两个三角形区域种植鲜花，试求草坪的面积的最小值．
（1）如图1，在矩形
内，以的中点F为圆心，为直径作半圆．P为半圆上一点，若，，试求的面积的最小值． 问题探究：
（2）如图2，在菱形
中，，，P是菱形内或边上的一点，且，连接，求面积的最小值．问题解决：
（3）如图3，在市区有一块矩形形状的闲置空地
要进行规划，其中米，米，E是边上一点，且米，F是边上的任意一点，把改造成一个供市民休息的区域，是关于的轴对称图形，在区域放置“保护野生动物，拒绝食用野生动物”的宣传与警示栏．同时修建四条观光道，在四边形空地种植草坪，剩余两个三角形区域种植鲜花，试求草坪的面积的最小值．
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
名校
【推荐2】在
中，
．
， 以
为边在下方作等边，
，
与交于点O，连接
，求四边形
的面积；
(2)如图2，若
，以为边在下方作等边，连接，过点A作
于点E，求证∶
；
(3)如图3，若
，在下方作等腰
，过点F作
交延长线于点G，T为
中点，M为
延长线上一点，将
绕点F顺时针旋转至
，旋转角为
，连接
，
，
，
，
，当
最小时，直接写出
的面积．
中，．
， 以为边在下方作等边，，与交于点O，连接，求四边形的面积；(2)如图2，若
，以为边在下方作等边，连接，过点A作于点E，求证∶；(3)如图3，若
，在下方作等腰，过点F作交延长线于点G，T为中点，M为延长线上一点，将绕点F顺时针旋转至，旋转角为，连接，，，，，当最小时，直接写出的面积．
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
【推荐3】如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，OA=10，cos∠COA
．一个动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OA方向运动，过点P作PQ⊥OA，交折线段OC﹣CB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线OA上，当P点到达A点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
(1)C点的坐标为 ，当t= 时N点与A点重合；
(2)在整个运动过程中，设正方形PQMN与菱形OABC的重合部分面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
(3)如图2，在运动过程中，过点O和点B的直线将正方形PQMN分成了两部分，请问是否存在某一时刻，使得被分成的两部分中有一部分的面积是菱形面积的
？若存在，请求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
．一个动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OA方向运动，过点P作PQ⊥OA，交折线段OC﹣CB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线OA上，当P点到达A点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．(1)C点的坐标为 ，当t= 时N点与A点重合；
(2)在整个运动过程中，设正方形PQMN与菱形OABC的重合部分面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
(3)如图2，在运动过程中，过点O和点B的直线将正方形PQMN分成了两部分，请问是否存在某一时刻，使得被分成的两部分中有一部分的面积是菱形面积的
？若存在，请求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
【推荐1】阅读材料：小百合特别喜欢探究数学问题，一天万老师给她这样一个几何问题：
如图1，和
都是等边三角形，将绕着点
旋转
，求证：
．
【探究发现】（1）小百合很快就通过
，论证了，于是她想，把等边和等边都换成等腰直角三角形，如图2，将绕着点旋转，其中
那么
和
有什么数量关系呢？请写出你的结论，并给出证明．
【拓展迁移】（2）如果把等腰直角三角形换成正方形，如图3，将正方形
绕点
旋转，若
，
，在旋转过程中，当
，
，
三点共线时，请直接写出
的长度．
【拓展延伸】（3）小百合继续探究，做了如下变式：如图4，矩形
矩形
，且具有公共顶点，将矩形固定，另一个矩形绕着点顺时针旋转
，连接
、，直线
交于点
，在旋转的过程中，试证明为的中点．
如图1，
和都是等边三角形，将绕着点旋转，求证：．【探究发现】（1）小百合很快就通过
，论证了，于是她想，把等边和等边都换成等腰直角三角形，如图2，将绕着点旋转，其中那么和有什么数量关系呢？请写出你的结论，并给出证明．【拓展迁移】（2）如果把等腰直角三角形换成正方形，如图3，将正方形
绕点旋转，若，，在旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出的长度．【拓展延伸】（3）小百合继续探究，做了如下变式：如图4，矩形
矩形，且具有公共顶点，将矩形固定，另一个矩形绕着点顺时针旋转，连接、，直线交于点，在旋转的过程中，试证明为的中点．
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
【推荐2】问题发现：（1）如图①，在正方形中，
，点E、F分别在
边，且
，则的长为________；
问题探究：（2）如图②，在矩形中，，
，点E、F分别在边上运动，且始终保持与对角线的夹角
，求当
最小时线段的长；
问题解决：（3）某信息兴趣小组利用电脑成功设计了一个点的运动程序：在平面直角坐标系
中，已知点
，N．对于点P给出如下运动法则：将点P向右（
）或向左（
）平移
个单位长度，再向上（
）或向下（
）平移
个单位长度，得到点
，点关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
利用上面的运动程序解决下面的问题：已知
，
，若点
，点N为直线
上一个动点，点P为平面直角坐标系内任意一点，且Q为点P的“对应点”，连接
与直线相交于点E，试求
的最小值及此时点N的坐标．
中，，点E、F分别在边，且，则的长为________；问题探究：（2）如图②，在矩形
中，，，点E、F分别在边上运动，且始终保持与对角线的夹角，求当最小时线段的长； 问题解决：（3）某信息兴趣小组利用电脑成功设计了一个点的运动程序：在平面直角坐标系
中，已知点，N．对于点P给出如下运动法则：将点P向右（）或向左（）平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．利用上面的运动程序解决下面的问题：已知
，，若点，点N为直线上一个动点，点P为平面直角坐标系内任意一点，且Q为点P的“对应点”，连接与直线相交于点E，试求的最小值及此时点N的坐标．
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
【推荐3】如图（1），在边长为4的正方形
中，在AO的延长线上取点B，使OB=2OA，连接BC．
（1）点是线段的中点，连结
，求线段的长；
（2）点M在线段BC上，且到OB，OC的距离分别为
，
，当
时， 求，的值；
（3）如图（2），在第（1）、（2）问条件下，延长交直线于点N，动点
在
上从点向终点
匀速运动，同时，动点
在延长线上，沿直线向终点M匀速运动，它们同时出发且同时到达终点．当点运动到中点时，点恰好与点重合．
①在运动过程中，设点的运动路程为s，
，用含t的代数式表示s．
②过点O作
于点
，在运动路程中，当与
的一边平行时，求所有满足条件的
的长．
中，在AO的延长线上取点B，使OB=2OA，连接BC．（1）点
是线段的中点，连结，求线段的长；（2）点M在线段BC上，且到OB，OC的距离分别为
，，当时， 求，的值；（3）如图（2），在第（1）、（2）问条件下，延长
交直线于点N，动点在上从点向终点匀速运动，同时，动点在延长线上，沿直线向终点M匀速运动，它们同时出发且同时到达终点．当点运动到中点时，点恰好与点重合．①在运动过程中，设点
的运动路程为s，，用含t的代数式表示s．②过点O作
于点，在运动路程中，当与的一边平行时，求所有满足条件的的长．
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
名校
【推荐1】如图，在中，以为直径的
，交于点
，且
交直线于点，连接
．
如图1，求证：
；
如图2，
为钝角时，过点作
于点
求证：
；
如图3，在的条件下，在∠BDF的内部作
，使
分别交
于点
交于点
，若
，求
的长．
中，以为直径的，交于点，且交直线于点，连接．如图1，求证：；如图2，为钝角时，过点作于点求证：；如图3，在的条件下，在∠BDF的内部作，使分别交于点交于点，若，求的长．
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
解题方法
【推荐2】如图，点A，B，C分别是上的三等分点，连接，，
．点D，E分别是，上的点，且
．过点D作
的垂线，垂足为H，与分别交于N、M，与边交于F点．
(1)求证：是等边三角形；
(2)探索
与
的数量关系，并加以证明；
(3)点E从点B沿方向运动到点C，点H也随之运动，若的半径为2，则点H运动的路径长是多少？
上的三等分点，连接，，．点D，E分别是，上的点，且．过点D作的垂线，垂足为H，与分别交于N、M，与边交于F点．(1)求证：
是等边三角形；(2)探索
与的数量关系，并加以证明；(3)点E从点B沿
方向运动到点C，点H也随之运动，若的半径为2，则点H运动的路径长是多少？
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困难
(0.15)
名校
【推荐3】问题提出（1）如图①，在△ABC中，BC＝6，D为BC上一点，AD＝4，则△ABC面积的最大值是 ．
问题探究（2）如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．
问题解决（3）如图③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD，且满足∠ADC＝60°．你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．
问题探究（2）如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．
问题解决（3）如图③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD，且满足∠ADC＝60°．你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
【推荐1】如图：在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，点E是
上一点，AB＝12，连接BE交AC于点F；
(1)若点E是的中点，求证：CB＝CF；
(2)若AF＝8，△CFB是以CF为腰的等腰三角形，试求BE的长；
(3)在（1）的条件下，连接DB，作∠ADB的角平分线交BE于点G，交⊙O于点H，若点G为BE的中点，直接写出DH的长．
上一点，AB＝12，连接BE交AC于点F；(1)若点E是
的中点，求证：CB＝CF；(2)若AF＝8，△CFB是以CF为腰的等腰三角形，试求BE的长；
(3)在（1）的条件下，连接DB，作∠ADB的角平分线交BE于点G，交⊙O于点H，若点G为BE的中点，直接写出DH的长．
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困难
(0.15)
名校
【推荐2】如图1，在矩形 ABCD 中，AB= 8，BC= 6，动点E从点A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点B时停止，在运动过程中，经过 A、D、E三点的☉O交线段 BD于点K，交线段CD于点H，将△ADE 沿DE翻折得到△GDE．
(1)求证：四边形AEHD是矩形；
(2)当点G恰好落在点K处时，求线段HG的长；
(3)如图2，连接AG交DE于点P，并延长AG交∠GDC的平分线于点R，设点E运动的时间为t（0<t<8）秒，△BCR的面积为S，求S关于时间t的函数关系式．
(1)求证：四边形AEHD是矩形；
(2)当点G恰好落在点K处时，求线段HG的长；
(3)如图2，连接AG交DE于点P，并延长AG交∠GDC的平分线于点R，设点E运动的时间为t（0<t<8）秒，△BCR的面积为S，求S关于时间t的函数关系式．
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
【推荐3】如图1，已知AB为半圆O的直径，AB＝2，线段AI⊥AB，延长AB至点G，使BG＝AB，以点B为圆心，线段AG为直径作半圆B，点D是半圆B上一点，过点D作DF⊥AI于点F，连结AD，BD，其中AD交半圆O于点E．连接EF．
(1)求证：AE＝DE．
(2)设
，
，求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．
(3)如图2，以BG为直径作半圆
，BD交半圆O或半圆于点J，连结FB交AD于点K，连结KJ，当点K将线段FB分为2：3两部分时，求
DFK与BJK的面积之差．
(1)求证：AE＝DE．
(2)设
，，求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．(3)如图2，以BG为直径作半圆
，BD交半圆O或半圆于点J，连结FB交AD于点K，连结KJ，当点K将线段FB分为2：3两部分时，求DFK与BJK的面积之差．
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